Question

在平面直角坐标系中，点A（0，4）B（3，4）C（6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在Y 轴上向下运动

动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向左运动，过点P作RP垂直与y轴，交OB于R，连接RQ。当点P与点O重合时，两动点均停止运动。设运动的时间为t秒。（1）若t=1时，求点R的坐标；（2）当3<t<4，时，在线段OB上是否存在点R，使三角形ORQ与三角形ABC相似？若存在请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵A（0，4），B（3，4），
∴AB⊥y轴，AB=3．
∵RP⊥y轴，
∴∠OPR=∠OAB=90°．
又∠POR=∠AOB，
∴△OPR∽△OAB，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{PR}{AB}$．
当t=1时，AP=1，OP=3，
∴$\frac{3}{4}=\frac{PR}{3}$，
∴$PR=\frac{9}{4}$．
∵R的纵坐标等于OP的长，
∴点R的坐标为（$\frac{9}{4}$，3）．
（2）如图，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（3，0）
在△BOC中，
∵OD=DC=3，且BD⊥OC，
∴OB=BC．
∵△OPR∽△OAB，
∴$\frac{OR}{OB}=\frac{OP}{OA}$，
∵在Rt△OBD中，$OB=\sqrt{O{D^2}+B{D^2}}=5$
∴$\frac{OR}{5}=\frac{4-t}{4}$，
∴$OR=\frac{20-5t}{4}$．
由题意得，AP=t，CQ=2t（0≤t≤4）．
分三种情况讨论：
①当0≤t＜3时，即点Q从点C运动到点O（不与O重合）时，
∵OB=BC
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA
∵AB∥x轴，
∴∠BOC=∠ABO，∠BAC=∠ACO，
∵∠ABO＜ABC，∠BCO＞∠ACO，
∴∠BOC＜ABC，∠BOC＞∠BAC，
∴当0≤t＜3时，△ORQ与△ABC不可能相似．
②当t=3时，点Q与O重合时，△ORQ变成线段OR，故不可能与△ABC相似．
③如图，当3＜t≤4时，即点Q从原点O向左运动时，
∵BD∥y轴
∴∠AOB=∠OBD
∵OB=BC，BD⊥OC
∴∠OBD=∠DBC
∴∠QOR=90°+∠AOB=90°+∠DBC=∠ABC9
当$\frac{OQ}{OR}=\frac{AB}{BC}$时，
∵OQ=2t-6，
∴$\frac{2t-6}{{\frac{20-5t}{4}}}=\frac{3}{5}$，
∴$t=\frac{36}{11}$．
当$\frac{OQ}{OR}=\frac{BC}{AB}$时，
同理可求得$t=\frac{172}{49}$．
经检验$t=\frac{36}{11}$和$t=\frac{172}{49}$均在3＜t≤4内，
∴所有满足要求的t的值为$\frac{36}{11}$和$\frac{172}{49}$．

Answer 2

(1)解：当t=1时，点P（0,3），直线0B为y=（4/3)x
因为RP垂直与y轴，故点R的纵坐标为3，代入直线OB中得x=9/4
故点R的坐标为（9/4,3)
(2)解：延长AB至点D
因为AB//CQ,所以，角OCB=角CBD,而三角形BOC为等腰三角形
所以角COB=角OCB,
所以角OCB=角CBD,又因为角QOR+角OCB=角ABC+角OCB，
所以角QOR=角ABC，因此要三角形ORQ与三角形ABC相似，只需另一个角相等即可
若角OQR=角BAC,则三角形OQR~三角形BAC
故有OQ/BA=OR/BC=yR/yB，（yR为点R的纵坐标，yB为点B的纵坐标）
即2（t-3）/3=(4-t)/4,解得t=36/11,
若角ORQ=角BAC,则三角形ORQ~三角形BAC
故有OR/BA=OQ/BC,
即（3/4)*(4-t)/3=(t-3)/5,解得t=32/9，符合题意
综上所述，可知这样的t是存在的，并且t=36/11或32/9

追问

第二问还有其他方法吗