Question

设A、B均为n阶可逆矩阵，ABA=B^(-1)，E为n的单位矩阵，证明R(E-AB)+R(E+AB）=n

Answer 1

知识点:
1. 若AB=0, 则 r(A)+r(B)<=n
2. r(A+B)<=r(A)+r(B)

证明: 因为 ABA=B^-1
所以 (E-AB)(E+AB)
= E+AB-AB-ABAB
= E-E
=0
所以 r(E-AB)+r(E+AB)<=n.
又因为 n=r(2E)=r[(E-AB)+(E+AB)]<=r(E-AB)+r(E+AB)
所以 r(E-AB)+r(E+AB)=n.

Answer 2

对任意的属于E+AB值域的向量（可表示为y+ABy)，由条件ABAB＝E知(E-AB)(y+ABy)=0，于是有结论E+AB的值域是E-AB的核空间的一个子空间，因此r(E+AB)小于等于n-r(E-AB)，即R(E-AB)+R(E+AB)小于等于n。另一方面，由不等式r(A+B)小于等于r(A)+r(B)可知R(E-AB)+R(E+AB）大于等于r(2E)=n。综上有R(E-AB)+R(E+AB）=n