Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点

如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是？

Answer 1

∵AB＝3、BC＝4、∠ABC＝90°，∴由勾股定理，有：AC＝√（AB^2＋BC^2）＝5。
∵∠BQP＝90°，∴点Q在以BP为直径的圆上。
令BP的中点为D。
显然，当⊙D与AC相切时，⊙D的半径最小，即此时的x最小。

下面求这个x的最小值。
∵⊙D切AC于Q，　∴DQ⊥CQ，又AB⊥BC，　∴∠CQD＝∠CBA＝90°，而∠C＝∠C，
∴△CQD∽△CBA，　∴DQ/CD＝AB/AC。
很明显，DQ＝BD＝BP/2＝x/2，　∴CD＝BC－BD＝4－x/2。
∴（x/2）/（4－x/2）＝3/5，　∴x/（8－x）＝3/5，　∴x/8＝3/（5＋3）＝3/8，　∴x＝3

自然，x的最大值为BC＝4。
∴满足条件的x的范围是［3，4］。