Question

三棱锥P-ABC中，PA垂直于平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2,E是PC的中点。

求异面直线AE和PB所成角的余弦值；三棱锥A-EBC的体积

Answer 1

解：
∵PA⊥面ABC,PA=AB=AC=2
∴PA⊥AB,PA⊥AC
则 △PAB、△PAC为等腰直角三角形
∴ PB=PC=2√2
过E作EF∥PB交BC于F,连接AF
则 EF平行且等于1/2PB=√2
AE为等腰直角三角形PAC斜边的中线=1/2PC=√2
AF为顶角60°等腰三角形底边的中线
∴AF⊥BC, ∠FAC=60°/2=30°
∴AF=ACcos30°=√3
cos∠AEF=(AE²+EF²-AF²)/(2*AE*EF)
=(2+2-3)/(2*2)=1/4
异面直线AE和PB所成角的余弦为：1/4

在Rt△PAC中过E作EG⊥AC交AC于G
∵PA⊥平面ABC,
∴EG⊥平面ABC
EG=1/2PA=1
S△ABC=1/2AB*ABsin∠BAC=1/2*2*2*√3/2=√3
V A-EBC=1/3* S△ABC*EG=√3/3

Answer 2

1.∵AB=AC，∠BAC=60°
∴△ABC等边
∴BC=AB=2
作BC中点F，连EF、AF
∵E是PC中点，F是BC中点
∴EF是△PBC的中位线
∴EF∥PB
∴∠AEF就是AE和PB所成角，设为α
∵△PAC是等腰直角三角形
∴AE=√2
PB=2√2
EF=PB/2=√2
AF=√3
cosα=(AE²+EF²-AF²)/(2·AE·EF)=1/4
2.三棱锥E-ABC的高h=PA/2=1
S△ABC=√3
∴V=Sh/3=√3/3

Answer 3

去AB中点M BE中点N PB中点Q 连接MN MQ QN
∠MAN为所求的角。
QM=0.5PA=1 MN=0.5AE=√3/2 AN=√7/2 余弦定理可知cosθ=2√7/7

Answer 4

这个问题很简单啊！你可以用几何法来解，问题就很简单了。建立直角坐标系！