Question

帮忙解数列问题？

数列{an }的通项公式an =n2(cos2nπ/3—sin2nπ/3)，前n响和为Sn，则S（30）为？

Answer 1

an =n²(cos2nπ/3—sin2nπ/3)，
令bn=cos2nπ/3—sin2nπ/3，
T=2π/(2π/3)=3，所以{bn}是一个周期为3的数列。
b1=cos2π/3－sin2π/3＝-1/2-√3/2
b2=cos4π/3－sin4π/3＝-1/2+√3/2
b3=cos2π－sin2π=1
所以　S30=a1+a2+…+a30
=b1(1²+4²+7²+28²)+b2(2²+5²+8²+29²)+b3(3²+6²+9²+30²)
=(-1/2)(1²+2²+3²+…+30²)+(√3/2)(2²-1²+5²-4²+8²-7²+…+29²-28²)+(3/2)(3²+6²+9²+…+30²)
=(-1/2)(1²+2²+3²+…+30²)+(√3/2)(3+9+15+…+57)+(27/2)(1²+2²+3²+…+10²)
=(-1/2)×9455+(√3/2)×300+(27/2)×385
=470+150√3
注：1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+…+30²=9455，
1²+2²+3²+…+10²=385，
3+9+15+…+57=10(3+57)/2=300
太累了，终于算好了。

Answer 2

现在的高中书上没有自然数平方求和公式。
注意到cos2nπ/3，sin2nπ/3的周期都是3
bk=a(3k-2)+a(3k-1)+a(3k)
=(3k-2)²*[cos(2π/3)-sin(2π/3)]+(3k-1)²*[cos(4π/3)-sin(4π/3)]+(3k)²*[cos(2π)-sin(2π)]
=(3k-2)²(-1/2)+(3k-1)²*(-1/2)+(3k)²-【(3k-2)²*(√3/2)+(3k-1)²*(-√3/2)】
=9k-5/2 +(6k-3)*(√3/2)
即求等差数列的前10项之和
S=(9-5/2+90-5/2)*10/2+(3+6*10-3)*10/2*(√3/2)
=470+150*√3

Answer 3

给n赋值奇数和偶数，就可以把通项公式变形下，然后再求出通项公式，里面就不包含三角函数了，就可以很快的求出前30项的和了。

Answer 4

2nπ其实是一个周期，后边部分相当于cosπ/3—sinπ/3。自己算算