Question

高二数学还不懂呀。点P为椭圆（x²/a²）＋（y²/b²）＝1（a﹥b﹥0)上任意一点

（异于顶点），椭圆短轴的两个端点分别是B1，B2。若直线PB1，PB2分别与x轴交于点M,N，求证：OM.ON 为定值。
要详解，谢谢！！！

Answer 1

依题意得：椭圆短轴的两个端点坐标分别是B1（0，b)，B2(0,-b).

设点P横坐标为s，

（椭圆（x²/a²）＋（y²/b²）＝1（a﹥b﹥0)上任意一点P一经取定⇒s为定值）

点P内分线段B1M,定比为t1>0,

由线段定比分点公式

⇒点M的横坐标:（(1+t1)s为定值。

⇒OM=（(1+t1)s为定值.

同理

设点P横坐标为s，（s为定值）

点N内分线段B2P,定比为t2>0,

由线段定比分点公式

⇒点N的横坐标:（(1+t2)s为定值。

⇒ON=（(1+t2)s为定值.

∴OM*ON为定值 

如图。

Answer 2

椭圆 x²/a²+y²/b²=1的短轴端点B1,B2的坐标是B1(0,b)和B2(0,-b)，设P点坐标为（x0,y0)
PB1的方程是 y=k1x+b ,PB2的方程是 y=k2x-b (其中，k1=(y0-b)/x0 k2=(y0+b)/x0
PB1和x轴的交点M 坐标是 （-b/k1,0)
PB2与x轴的交点 N点的坐标是（b/k2,0)
OM*ON=-b²/k1k2
由于 P(x0,y0)在椭圆上。b²x0²+a²y0²=a²b² (y0²-b²)=-b²x0²/a²
而 k1k2=（y0²-b²)/x0²=-b²x0²/a²/x0²=-b²/a²
所以， OM*ON= a² 为定值

Answer 3

设B1P方程为y=k1x+b，B2P方程为y=k2x-b。联立解得x=2b/(k2-k1) y=b(k2+k2)/(k2-k1)
P(2b/(k2-k1),b(k2+k2)/(k2-k1))代入椭圆方程整理得：k1k2=-b^2/a^2
在y=k1x+b中取y=0，则[OM]=[x]=[b/k1]。在y=k2x-b中取y=0，则[ON]=[x]=[b/k2]。
[OM]*[ON]=[b^2/(k1k2)]=a^2(定值)

Answer 4

应该用到向量的知识吧，好久没有弄高中的题目了

Answer 5

怎么有代码啊，这个怎么解？

追问

不是代码，是x的平方，a的平方，y的平方，b的平方