Question

如图,抛物线y=-5/4x^2+17/4x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点

如图，抛物线y=-5/4x＾2+17/4x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
1）求直线AB的函数关系式

（2）动点P在线段OC上从原点以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由。

Answer 1

抛物线y=-(5/4)x²+(17/4)x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由。
解：1).令x=0得y=1，因此A点的坐标为(0，1)；x=3时y=-45/4+51/4+1=10/4=5/2，故B点的坐标
为(3，5/2）；KAB=(5/2-1)/(3-0)=1/2，故AB所在直线的方程为y=(1/2)x+1.
2).S=-(5/4)t²+(17/4)t+1-[(1/2)a+1]=-(5/4)t²+(15/4)t=(5/4)(3-t)t，0≦t≦3.
3).要使BCMN为平行四边形只须CM∥BN，即只须KCM=KBN；KCM=(t/2+1)/(t-3)；
KBN=(-5t²/4+17t/4+1-5/2)/(t-3)=(-5t²/4+17t/4-3/2)/(t-3)；故得等式：
t/2+1=-5t²/4+17t/4-3/2，5t²/4-15t/4+5/2=0，即有t²-3t+2=(t-2)(t-1)=0，故得t₁=1；t₂=2；
即当t=1秒或2秒时BCMN是平行四边形。
t=1时，︱MN︱=-5/4+17/4+1-(1/2+1)=5/2，︱CM︱=√[(3-1)²+(3/2)²]=√(25/4)=5/2；
故︱MN︱=︱CM︱，所以BCMN是菱形。
t=2时，︱MN︱=-5+17/2+1-3/2=3，︱CM︱=√[(3-2)²+2²]=√5；
故︱MN︱≠︱CM︱，所以BCMN不是菱形。

Answer 2

1）A（0，1），B（3，5/2），所以AB函数关系式为 y=1/2*x+1 。
2）0<=t<=3，M（t，1/2*t+1），N（-5/4*t^2+17/4*t+1），
s=|MN|=|-5/4*t^2+17/4*t+1-1/2*t-1|=|5/4*t^2+15/4*t|
3）BC//MN ，
要使BCMN为平行四边形，则 |MN|=|BC|=5/2，
即 |5/4*t^2+15/4*t|=5/2，
解得 t=1 或 t=2，
因此，当t=1或t=2时，BCMN为平行四边形。
当 t=1时，|CM|=√[(3-1)^2+(3/2-0)^2]=5/2=|BC|，因此，是菱形；
当 t=2时，|CM|=√[(3-2)^2+(2-0)^2]=√5≠|BC|，因此，不是菱形。

Answer 3

：（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=

（2）

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有

，解得，

所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.

①当t=1时，，，故,

又在Rt△MPC中，，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形②当t=2时，，，故,

又在Rt△MPC中，，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.

Answer 4

Answer 5

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