Question

设A为m*n矩阵,且r(A)=r<n.求证存在秩为n-r的n*(n-r)矩阵B,使得AB=O 我要具体的解答过程

Answer 1

A为m*n矩阵,且r(A)=r<n，则A一定能够通过初等列变换变成这样的m*n矩阵K
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 0
就是一个m*n的矩阵，左上角有个r*r的单位阵。其他都是0
我们知道，做一次初等列变换，就是右乘一个n*n可逆阵。于是，做了很多次列变换，把这些可逆阵乘在一起，记为P，那么就是AP=K

然后构造一个n*(n-r)的矩阵L如下：
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
...
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
这个L就是一个n*(n-r)矩阵，下面有一个（n-r）*（n-r）的单位阵，上面都是0。
可以看到：K*L=0
也就是APL=0，那么所求的B就是PL.
因此一定存在这样的矩阵B,使得AB=O