Question

初二上几何证明提高题，求证

如图等腰直角三角形ABC内一点P，若PA=3，PB=2，PC=1，求角PBC

Answer 1

顺时针旋转BP到BP' 使BP⊥BP'
旋转后△PBP'为等腰直角三角形 则PP'=（根号2）*PB=2*(根号2)
则旋转后 ∠P'BA=∠P'BP-∠ABP=∠ABC-∠ABP=∠PBC
且 BP=BP' AB=BC
则△ABP'≌△BPC 则AP'=CP=1 ∠AP'B=∠BPC
则在三角形APP'中 PP'=2*(根号2) AP=3 AP'=1
则由勾股定理得 △APP'为直角三角形 ∠AP'P=90
则∠BPC=∠AP'B=∠AP'P+∠PP'B=90+45=135
则P P' C 在一条直线上
做AE垂直于BP'交BP'延长线于E
则∠EP'A=180-∠AP'B=45
则三角形AP'E为等腰直角三角形 则AE=（根号2）/2=EP'
则EB=EP'+BP'=（根号2）/2+2
则tan∠PBC=tan∠ABP'=AE/EB=[（根号2）/2]/[（根号2）/2+2]=[2(根号2)-1]/7
则∠PBC=arctan[2(根号2)-1]/7

Answer 2

首先，明确你知道“余弦定理”
PB^2+BC^2-2*PB*BC*COS(∠PBC)=PC^2 (注，PB^2表示PB的平方)
为了表示方便，设BC=x,∠PBC=y；
因为三角形ABC为等腰直角三角形
所以BA=BC=x,∠PBA=90-∠PBC=90-y;
对于∠PBC应用余弦定理，有
PB^2+BC^2-2*PB*BC*COS(∠PBC)=PC^2
化简得4+x^2-4x*cos(y)=1
对于∠PBA应用余弦定理，有
PB^2+BA^2-2*PB*BA*COS(∠PBA)=PA^2
化简得4+x^2-4x*cos(90-y)=9
两个方程，两个未知数，二元方程，解得
cos(y)=0.968
根据0-90°角度余弦值对应关系
可得
y=14.64°
即∠PBC=14.64°

当然你在解这两个方程的时候应该明白需要对三角函数进行适当变化，
三角函数公式的熟练运用是必须的

Answer 3

如果是初二的，

估计是求∠BPC