Question

某商场经销甲乙两种商品，甲种商品每件进价20元，售价26元；乙种商品每件售价45元，利润率为50%。

某商场经销甲乙两种商品，甲种商品每件进价20元，售价26元；乙种商品每件售价45元，利润率为50%。

（1）若该商场准备用4220元购进甲乙两种商品，为使销售后的利润最大，请你给出进货方案。

（2）若该商场购进甲乙两种商品共100件，恰好用去2600元，求能购进甲种商品多少件？

（3）在元旦期间，该商场对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过300元 不优惠
超过300元，但不超过400元 按售价打九折
超过400元 按售价打八折
按上述优惠条件，若小明第一天只购买甲种商品，付款260元，第二天只购买乙种商品实际付款324元，则小明这两天在该商场购买甲乙两种商品一共多少件？

Answer 1

乙种商品每件售价45元，利润率为50%。 设乙的进价为Z
(45-Z)/Z=50%，Z=30
（1）设进甲种商品X件，乙种商品Y件，有题目可列出
20X+30Y=4220①
利润S=（26-20）X+(45-30)Y 将①带入
S=2110-4X
当X=0时，S有最大值为2110元，但此时求的Y值不为正整数
在Y的最大范围内且X，Y为正整数，4220/30最大正整数为140，故Y=140，X=1时，利润最大为2106元
（2）设进甲种商品X件，乙种商品Y件
X+Y=100 ②
20X+30Y=2600 ③
求得X=40 Y=60

（3）设第一天买甲种商品X件，第二天买乙种商品Y件
若第一天买的甲商品没超过300元，则无优惠，小明应付26X=260，求得X=10为正整数
若优惠了，小明应付26X*0.9=260，求得的X不是正整数，不符合
第二天只购买乙种商品实际付款324，超过了300元，既有优惠
若是九折的优惠：45Y*0.9=324 Y=8为正整数符合
若是八折的优惠：45Y*0.8=324 Y=9为正整数符合，但打八折需要满400元，45*9=405也满足
故小明两天买的商品数为18或19

Answer 2

1）设甲种商品为x件，则乙种商品为（4220-20x）/45件
利润y=(26-20)x+(4220-20x)/45*(45*50%)
=6x+2110-10x
=2110-4x
要使利润y最大，x当取0，但是商品件数为正整数
乙种商品最多只有4220/45=93件，剩余35元，则甲种商品也不能为正整数
所以乙种商品只能进货92件，则甲种商品能进货4件
2）设甲种商品进x件，则乙种商品为100-x件
20*x+(100-x)*45=2600
x=76件
3）260/26+324/(45*0.9)=18件