Question

求函数f(x)=ax+1/x x∈(0,2]的值域。

求函数f(x)=ax+1/x x∈(0,2]的值域。

Answer 1

解：（1）当a=0时，f(x)=1/x
此时f(x)为定义域上的减函数
所以： 当x∈(0,2]时，x=2时，函数f(x)取得最小值f(2)=1/2
x-->0时，函数f(x)-->+∞
（2）当a<0时，f(x)=ax + 1/x
此时为定义域上的减函数（y=ax为减函数，减函数加减函数依旧是减函数）
所以： 当x∈(0,2]时，x=2时，函数f(x)取得最小值f(2)=2a + 1/2
x-->0时，函数f(x)-->+∞
（3）当a>0时，f(x)=ax + 1/x
此时y=ax为增函数，直观的判断不出f(x)的增减性
所以求导得：f'(x)=a - 1/x²
令：f'(x)=0 ==> x=±√(1/a)
因为：x∈(0,2]，所以：x=-√(1/a)可以不考虑
所以： 当x>√(1/a)时，f'(x)>0，所以f(x)在(√(1/a)，+∞)为增函数
所以： 当0<x<√(1/a)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，√(1/a))为减函数
所以： (1) 当0<√(1/a)<2，即：a>1/4时
当x=0时，f(x)取得最大值为+∞
当x=√(1/a)时，f(x)取得最小值为2√a
(2) 当√(1/a)≥2，即：0<a≤1/4时
当x=0时，f(x)取得最大值为+∞
当x=2时，f(x)取得最小值为2a + 1/2
所以： 综上所述
当a>1/4时，f(x)的值域为[2√a,+∞)
当a≤1/4时，f(x)的值域为[2a+1/2,+∞)

分类讨论是高考中必考的题目之一，而这道题只是很简单的一种，看函数的解析式和求值区间，我们很容易知道，当x-->0时，函数取得最大值为-->+∞，所以剩下的只要求出最小值在何处即可。而分类讨论，一定要思路清晰，考虑全面。正如：上题若是先求导，a会出现在分母中，所以应先讨论a=0时。

Answer 2

f'(x)=a-1/x^2
令f'(x)=0得x=±√(1/a);
（因为x∈(0,2]，所以-√(1/a)的情况不予考虑）。
当x>√(1/a)时，f'(x)>0,f(x)单调递增;
当或0<x<√(1/a)时，f'(x)<0,f(x)单调递减。
故
① 当0<√(1/a)<2，即a>1/4时，f(x)在x=√(1/a)处取得最小值2√a，最大值为+∞
② 当√(1/a)≥2，即0<a<1/4时，f(x)在x=2处取得最小值2a+1/2,最大值为+∞
③ 当a=0时，f(x)=1/x， f(x)在x=2处取得最小值1/2,最大值为+∞
④ 当a<0时，f(x)在(0,2]上单调递减, f(x)在x=2处取得最小值2a+1/2,最大值为+∞
综上所述
当a>1/4时，f(x)的值域为[2√a,+∞)
当a≤1/4时，f(x)的值域为[2a+1/2,+∞)

Answer 3

昨天看到这个题目的时候，想到了我以前的高中，类似这种题目的确很常见，讨论值域就必须a的范围，很复杂、