Question

证明与找错

已知P，Q是椭圆9x^2+16y^2=1上的两个动点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点O到弦PQ的距离是多少？
请解答上题，并指出下面做法的错误。
设P（1/3 cosθ,1/4sinθ），则Q(-1/3sinθ，1/4cosθ）。（这里设Q由P逆时针转π/2得到）
S△OPQ=丨OP X OQ 丨/2=[1/12(sin^2θ+cos^2θ）]/2=1/24
上面OP， OQ都为向量。这里用了外积的坐标运算丨OPxOQ丨=丨x1y2-x2y1丨
再算弦PQ的长，解出O到PQ的距离。
但取两组特殊点（1/5,1/5) (-1/5,-1/5) 和(1/4,0) (0,1/3)可以验证△OPQ的面积不是定值。那么上述解答错在哪里？

Answer 1

椭圆的那个参数θ，并不是椭圆上点对应的幅角。所以你设定的PQ两点一般并不垂直。
算一下内积就知道了。<P, Q>=cosθsinθ(1/16-1/9) 非0，所以不垂直。

追问

请问那么我设的θ是什么呢？我看到参考书上都是这样设的。
还有上面的问题怎么解才好呢？

追答

椭圆参数方程参数的几何意义书上都有讲，网上也有。画图太麻烦，我就不讲了。你的问题，可以这么做（令c^2=a^2+b^2，a,b是半长短轴，c是半焦距）：
设p1=(r1, θ), p2=(r2,θ+PI/2)，是两个点的极坐标表示，因为他们满足椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，
所以 r1^2 [ b^2 cos^2(θ)+a^2 sin^2(θ) ] = a^2 b^2
同样 r2^2 [ b^2 sin^2(θ)+a^2 cos^2(θ) ] = a^2 b^2
计算可得 1/(r1^2) + 1/(r2^2) = (b^2+a^2)/(a^2 b^2) = (c/ab)^2
那么原点到直线p1p2的距离，等于两倍三角形Op1p2的面积除以斜边长
也就是r1*r2除以根号下r1^2+r2^2，它的平方的倒数就是那个式子，所以它的值就是 ab/c
对于你的情况，a=1/3, b=1/4, c=5/12, ab/c=1/5