Question

反三角函数问题

请问arctan(√2x+1)+arctan(√2x-1)是否等于arctan√2/2（x-1/x）呢？怎么证？

Answer 1

令a=arctan(√2x+1)
b=arctan(√2x-1)
c=arctan√2/2（x-1/x）
则√2x+1=tana
√2x-1=tanb
√2/2（x-1/x)=tanc;
题目即证：a+b=c;
若要a+b=c
需要tan(a+b)=tanc;
展开，将X带入即可~

追问

问题代入后tan(a+b)=(√2x)/(1-x^2);而tanc=(√2/2)*（x-1/x),两者并不等啊。
原题是让求1/(1+x^4)的不定积分，我将1变为0.5*[（1+x^2）+(1-x^2)]然后在上下同处以x^2,就有一项是arctan[（√2/2）*（x-1/x）],而答案中是arctan(√2x-1)+arctan（√2x+1）。所以问这个题。。。

追答

哦 我没细算，那说明两者是不相等的~ 说明你解错了呀~ 我去吃饭 回来把这个不定积分解出来给你吧~

追问

谢了，你看我的过程啊，答得好加分没得问题
1/(1+x^4)
=0.5*[（1+x^2）+(1-x^2)]/(1+x^4),
而[（1+x^2）+(1-x^2)]/(1+x^4)
={[1+(1/x^2)]+(1/x^2-1)}/(x^2+1/x^2)
=d(x-1/x)/[(x-1/x)^2+2]+d(x+1/x)/[2-(x+1/x)^2]
=√2/2arctan[(√2/2)（x-1/x)]+.......
后面的部分与答案相同.

追答

1+x^4 = (1+x²)² - 2x² = (1+x²+√2x)(1+x²-√2x)
1/(1+x^4)
= [1/(1+x²-√2x) - 1/(1+x²+√2x)]/2√2x
= 1/2√2 *[1/x + (√2-x)/(1+x²-√2x) - 1/x + (√2+x)/(1+x²+√2x)]
= 1/4√2 * [(2x+2√2)/(x²+√2x+1) - (2x-2√2)/(x²+1-√2x)]
= 1/4√2 *[(2x+√2)/(x²+√2x+1) - (2x-√2)/(x²+1-√2x) + √2/(x²+√2x+1) + √2/(x²+1-√2x)]
对(2x+√2)/(x²+√2x+1)求积分得ln(x²+√2x+1)
对(2x-√2)/(x²+1-√2x)求积分得ln(x²+1-√2x)
对√2/(x²+√2x+1)求积分得2arctan(√2x+1)
对√2/(x²-√2x+1)求积分得2arctan(√2x-1)
原式 = 1/4√2 *{ln[(x²+√2x+1))/(x²+1-√2x)] + 2arctan(√2x+1) + 2arctan(√2x-1)} + C

这是正确答案，你参考一下，别忘了采纳回答呀~

追问

谢谢，那请问我的方法哪错了呢？答好了再加三十分！

追答

最后一步求积分错了~ 你只给了最后结果~我也看不出来呀~

追问

我的方法是老师教的，能不能用我的方法做一下呢？已加三十分，答好了再加分。肯定采纳你的，谢谢！

追答

={[1+(1/x^2)]+(1/x^2-1)}/(x^2+1/x^2)
=d(x-1/x)/[(x-1/x)^2+2]+d(x+1/x)/[2-(x+1/x)^2]
这里你少了平方呀
应该是
d(x-1/x)^2/[(x-1/x)^2+2]+d(x+1/x)^2/[2-(x+1/x)^2]
这样应该就会了吧~

追问

怎么不对啊？d(x-1/x）就等于1+1/x^2啊，这里用的是凑微分法嘛

追答

不知道额啊 LZ ，我也不是搞数学的呀~

追问

就是觉得好诡异，明明每步都没错，答案就是不同。。。。。。

追答

问问老师吧，这个问题咱结了吧~