Question

如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M、N分别是BC、DE的中点。猜想MN与DE有何位置关系？并说明理由。

Answer 1

MN⊥DE。
证明：
连接EM ，DM，
在直角三角形BCE中，M是斜边BC的中点，
所以EM=1/2BC，
在直角三角形BCD中，M是斜边BC的中点，
所以DM=1/2BC，
所以DM=EM
所以三角形MED是等腰三角形，又因为N是ED中点，
所以MN⊥DE ﹙等腰三角形三线合一﹚

Answer 2

垂直
链接DM、EM
DM、EM分别是两个直角三角形斜边中线，因为直接三角形斜边中线等于斜边一半
所以DM=EM
△MDE是等腰三角形，等腰三角形底边的中线就是底边的高
所以MN垂直平分DE

Answer 3

连接DM和EM
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
三角形BDC中，DM=BC/2
三角形BCE中，EM=BC/2
DM=EM
MN是DE的中垂线

Answer 4

垂直 不用作辅助线滴~~~
因为 BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M是中点
所以 E、D在以M为圆心BM为半径的圆周上，即ED为该圆周上的弦
又 N为中点，M为圆心，所以MN⊥DE

Answer 5

证明，连结BE，取BE的中点O，连结ON、OM
在△PDB与△PCE中
∵∠PBA=∠PCA PD垂直AB PE垂直AC
∴△PDB∽△PCE
∴DB:DP=EC:EP
在△DBE中，NO是中位线
所以DB:NO=2：1
同理EC:MO=2：1
∴DB:NO=EC:MO
∵∠NOE=∠DBE
又∵∠MOE=180°-∠CEO
∴∠MON=180°-∠CEO+∠DBE
在四边形ADPE中
∠A+90°+90°+∠DPE=360°
∴∠DPE=180°-∠A=180°-（∠CEO-∠DBE）
∴∠DPE=∠MON
因为对应边成比例，夹角相等
∴△DPE∽△NOM
∴∠PDE=∠ONM
∵ON//BD
∴∠ONE=∠BDN
∴∠MNE=∠ONE-∠ONM=∠BDN-∠PDE=90°
∴MN垂直DE.
这是利用相似做的，上面的做法忽略了证点D、P、C，三点共线，可能比较麻烦但绝对正确