Question

x1=2,xn+1=2+1/n,n=1,2,……,求n趋于无穷时,xn的值

答案我知道怎么求，不过过程应该得证明数列单调并且有界吧？要是直接两边求极限，就很好算啊，关键是中间部分的证明。

Answer 1

我这绝对是正确
设limXn=s,则limXn+1=s
对Xn+1=2+(1/Xn)两边取极限，得一元二次方程：s^2-2s-1=0
考虑到s>0,可得s=1+根下2
故当n趋于正无穷时，limXn=1+√2，

追问

我要证明呢，麻烦证明一下。

追答

你是高中的吗？
只要极限存在，就可以对Xn+1=2+(1/Xn)两边取极限来求极限，这已经是证明了啊。
如果你是大学的话

追问

但是你能平白无故的说明该数列存在极限吗？你不得先证明数列存在极限，才能求吗？有些没有极限的数列，对两边求极限也是可以求出一个错误的答案的。

Answer 2

当a+1>b+1>=1时，显然0<1/a<1/b，则2<xa+1=2+1/a<2+1/b=xb+1，因此xn在n>=2时单调下降且有界。故2<xn<x2=3。

追问

证明等不对吧，你看看带入数后，数列并不是单调递减的，好像不是单调的。

追答

x2=2+1/1,x3=2+1/2,...xk=2+1/(k-1)>xk+1=2+1/k
有问题吗
如果是xn+1=2+1/xn，那可以说
若2<=xn<3，则0<1/xn<1，所以2<=xn+1=2+1/xn<3.
又因为x1满足条件，故对任意n有2<xn<3。则有界。
极限为x=2+1/x，解得x=1+2^0.5

Answer 3

题目弄错了吧，应该是x(n+1)=2+1/xn吧，由于0<Xn<3 设f(x)=2+1/x则f'(x)=-1/x^2<0,f(x)单调递减，故xn单调有界，极限存在。

Answer 4

2<xn<x2=3