Question

椭圆x^2/12+y^2/3=1的焦点F1，F2,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么丨PF1丨比丨PF2丨的值为

Answer 1

在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹。这两个固定点叫做焦点。

x^2/12+y^2/3=1,,焦点为（3，0）（-3，0）F1F2=6
F1F2的中点为原点O
∴直线MO为为三角形PF1F2的中位线
∵MO⊥F1F2 (y轴垂直于x轴)
∴PF2⊥F1F2 （中位线与底线平行）
∴P的x坐标为F2的x坐标
在椭圆X²/12+Y²/3=1中
∵a^2 = 12 (a=2√3)
b^2 = 3 (b=√3)
∴c^2 = a^2 -b^2 = 9
∴c = 3
∴F1的坐标为（-3，0）F2的坐标为（3，0）
将x=3带入椭圆方程可求得P点y坐标绝对值为：
|y| = √[3（1-x^2/12)]=√3/2
∴|PF2|=√3/2
由椭圆的第2定义有
|（|PF1|+|PF2|）|=2a
∴|PF1|=2a-|PF2|=2*2√3-√3/2=7√3/2
∴|PF1|/|PF2|=7:1
即7倍