如图所示,在三角形ABC中,AD是∠BAC的角平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF
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证明:
作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N
∵AD是∠BAC的平分线
∴DN=DM,∠MDN+∠BAC=180°
∵∠EDF+∠EAF=180°
∴∠EDM=∠FDN
∵∠EMD=∠FND=90°
∴△EMD≌△FND
∴DE=DF
作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N
∵AD是∠BAC的平分线
∴DN=DM,∠MDN+∠BAC=180°
∵∠EDF+∠EAF=180°
∴∠EDM=∠FDN
∵∠EMD=∠FND=90°
∴△EMD≌△FND
∴DE=DF
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<EDF+<EAF=180º
则,A,E.D,F四点共圆
所以,<EAD=<EFD, <FAD=<FED
因为,AD是<BAC 的平分线。所以,<EAD=<FAD
那么,<EFD=<FED
所以,DE=DF
则,A,E.D,F四点共圆
所以,<EAD=<EFD, <FAD=<FED
因为,AD是<BAC 的平分线。所以,<EAD=<FAD
那么,<EFD=<FED
所以,DE=DF
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证明:过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,
∴∠EMD=∠FND=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
∵∠EAF+∠EDF=180°,
∴∠AED+∠AFD=360°-180°=180°,
∵∠AFD+∠CFD=180°,
∴∠AED=∠CFD,
在△EMD和△FND中
∠EMD=∠FND
∠AED=∠CFD
DM=DN
,
∴△EMD≌△FND,
∴DE=DF
∴∠EMD=∠FND=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
∵∠EAF+∠EDF=180°,
∴∠AED+∠AFD=360°-180°=180°,
∵∠AFD+∠CFD=180°,
∴∠AED=∠CFD,
在△EMD和△FND中
∠EMD=∠FND
∠AED=∠CFD
DM=DN
,
∴△EMD≌△FND,
∴DE=DF
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证明:过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N.
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN(角平分线上的点到角两边的距离相等).
∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360°,∠AMD+∠AND=180°,
∴∠MDN+∠NAM=180°.
∵∠EDF+∠FAE=180°,
∴∠MDN=∠EDF.
∴∠MDE=∠FDN.
在△EDM和△FDN中,
∠EDM=∠FDN
DM=DN
∠DME=∠DNF
∴△EDM≌△FDN(ASA).
∴DE=DF(全等三角形对应角相等).
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN(角平分线上的点到角两边的距离相等).
∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360°,∠AMD+∠AND=180°,
∴∠MDN+∠NAM=180°.
∵∠EDF+∠FAE=180°,
∴∠MDN=∠EDF.
∴∠MDE=∠FDN.
在△EDM和△FDN中,
∠EDM=∠FDN
DM=DN
∠DME=∠DNF
∴△EDM≌△FDN(ASA).
∴DE=DF(全等三角形对应角相等).
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