Question

y=(x^2+2x+3)/(x^2+1)的值域

Answer 1

y(x^2+1)=x^2+2x+3
(1-y)x^2+2x+3-y=0
y=1时，x=-1成立
y<>1时，关于x的一元二次方程有实数根，判别式>=0
即：
4-4*（1-y)(3-y)>=0
1-(3-4y+y^2)>=0
-2+4y-y^2>=0
y^2-4y+2<=0
2-根2<=y<=2+根2
y=0时也成立
故值域为[2-根2,2+根2]

Answer 2

y=[2(x^2+x)+3]/(x^2+x)
=2(x^2+x)/(x^2+x)+3/(x^2+x)
=2+3/(x^2+x)

x^2+x=(x+1/2)^2-1/4>=-1/4
所以
若-1/4<=x^2+x<0
则1/(x^2+x)<=-4
若x^2+x>0
则1/(x^2+x)>0
所以1/(x^2+x)<=-4,1/(x^2+x)>0
2+1/(x^2+x)<=-2,2+1/(x^2+x)>2
所以值域(-∞,-2]∪(2,+∞)