Question

高一数学题，急求解！！！已知函数f（x）=2^x（1）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x

已知函数f（x）=2^x
（1）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（2）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．
答案：（1）a＜0或a＞2
（2）a≥1

Answer 1

(1)因为af（x）-f（2x）=a*2^x-2^(2x)=-(2^x-a/2)+a^2/4,又存在x∈（-∞，0），所以<02^x<1, |af（x）-f（2x）|=|-(2^x-a/2)^2+a^2/4|，当a<0时，x逼近0时，|af（x）-f（2x）|=|a*2^x-2^(2x)|=|a-2|>2>1,此时有|af（x）-f（2x）|＞1成立；当2>a>0时，，|af（x）-f（2x）|=a^2/4-(2^x-a/2）^2<a^2/4<1,此时不等式恒不成立；a>2时，af（x）-f（2x）|=a^2/4-(2^x-a/2）^2<a^2/4，a^2/4>1，所以a>2，使得|af（x）-f（2x）|＞1成立
（2）f（x+1）≤f[（2x+a）]等价于2^（x+1）≤2^（2x+a),化简得(2^x-1/2)^2-1/4+2^a-2≥0，当a＞0，且x∈[0，15]时,2^x>1,2^x-1/2>1/2,故(2^x-1/2)^2-1/4+2^a-2≥2^a-2≥0，即a≥1

Answer 2

（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2-at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t2-at＞1或t2-at＜-1
即存在t∈（0，1）使得a＜(t-
1t)max或a＞(t+
1t)min
∴a＜0或a≥2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为x+1≤2x+a恒成立
∴a≥(-2x+
x+1)max
设m（x）=-2x+
x+1令x+1=t，则x=t2-1，t∈[1，4]
∴m(t)=-2(t2-1)+t=-2(t-
14)2+
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所以，当t=1时，m（x）max=1∴a≥1