Question

已知函数f(X)=X^2+X-2，若任意X∈(0,1/2),f(X)+2<logaX恒成立，求a的范围

Answer 1

f(x)+2=x^2+x-2+2=x^2+x=(x+1/2)^2-1/4
最大值<1-1/4=3/4 (当x=1/2时渗胡)
要想恒成立,所以
即最大值<丛拿拦logaX的最小值,
X∈(0,1/2)
所以
0<a<1
logaX是减函数,最小值在,x=1/2,取得
即
3/4=log(a,1/2)
a^(3/4)=1/2
a^3=1/16
a=(1/16)^(1/3)即1/16开3次方
所敏前以
0<a<=1/16开3次方

追问

谢谢！
弱弱的问一句：a^(3/4)=1/2
a^3=1/16
这两步转换怎么做

Answer 2

讨论：若a>1,显然不可能满足，
所以a<1,此时logax在∈(0,1/2)为单减函数
x^2+x在∈(0,1/2)上为单增函数昌闷带，
所以 x^2+x取最大值时，logax取最小罩雀值，恒成立则是在耐芦x=1/2这一点也成立，
解得0<a<1/16开3次方