Question

已知a+b+c=1，求u=(3a^2+a)/(1+a^2)+(3b^2+b)/(1+b^2)+(3c^2+c)/(1+c^2)的最小值？急求解，在线等！

已知a+b+c=1，求u=(3a^2+a)/(1+a^2)+(3b^2+b)/(1+b^2)+(3c^2+c)/(1+c^2)的最小值

Answer 1

证明：(3a^2-a)/(1+a^2)>=9a/10-3/10即可
<=>30a^2-10a>=(1+a^2)(9a-3)=9a^3-3a^2+9a-3
<=>9a^3-33a^2+19a-3<=0
<=>(3a-1)(3a^2-10a+3)<=0<=>(3a-1)(3a-1)(a-3)<=0<=>(3a-1)^2(a-3)<=0
显然，(3a-1)^2>=0 ,a-3<0,故上面不等式成立
同理有
(3b^2-b)/(1+b^2)>=9b/10-3/10
(3c^2-c)/(1+a^2)>=9c/10-3/10
=>u>=9a/10-3/10+9b/10-3/10+9c/10-3/10=0
当且仅当a=b=c=1/3时取最小值

Answer 2

a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1
2ab<=a^2+b^2
2ac<=a^2+c^2
2bc<=b^2+c^2
所以：3a^2+3b^2+3c^2>=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2=1
可以得到 a^2+b^2+c^2≥ (1/3)

追问

然后呢。。。

追答

u>=9a/10-3/10+9b/10-3/10+9c/10-3/10=0

Answer 3

你知道怎么做的了吗。。。