Question

z=(1+xy)^y的二阶导数怎么求?我求了好几遍就是不对，希望能帮忙写一下步骤，详细一点。谢谢

Answer 1

先求一阶导数：
dz/dx=y(1+xy)^(y-1)*y=y²(1+xy)^(y-1)
对z=(1+xy)^y取对数，得 lnz=yln(1+xy)
再对y求导得 z'/z=y'ln(1+xy)+y/(1+xy)*(1+xy)'=ln(1+xy)+xy/(1+xy)
∴dz/dy=z[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]=(1+xy)^y[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]
再求二阶导数：
d²z/dx²=d(dz/dx)/dx=y²(y-1)(1+xy)^(y-2)*y=y³(y-1)(1+xy)^(y-2)
d²z/dy²=d(dz/dy)/dy=[(1+xy)^y]'[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]+(1+xy)^y[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]'
=(1+xy)^y[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]²+(1+xy)^y[x/(1+xy)+(x(1+xy)-x²y)/(1+xy)²]
=(1+xy)^y{[ln²(1+xy)]+[2xyln(1+xy)/(1+xy)]+[(x²y²+2x+x²y)/(1+xy)²]}
d²z/dxdy=d(dz/dx)/dy=(y²)'(1+xy)^(y-1)+y²[(1+xy)^(y-1)]'
=2y(1+xy)^(y-1)+y²(1+xy)^(y-1)[ln(1+xy)+x(y-1)/(1+xy)]
=(1+xy)^(y-1){2y+y²[ln(1+xy)+x(y-1)/(1+xy)]}
=(1+xy)^(y-1){y²ln(1+xy)+y(2+xy+xy²)/(1+xy)}
d²z/dydx=d(dzdy)/dx=[(1+xy)^y]'[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]+(1+xy)^y[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]'
=y(1+xy)^(y-1)*y[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]+(1+xy)^y[y/(1+xy)+(y(1+xy)-xy²)/(1+xy)²]
=(1+xy)^(y-1){[y²ln(1+xy)+xy³/(1+xy)]+(1+xy)[y/(1+xy)+y/(1+xy)²]
=(1+xy)^(y-1){y²ln(1+xy)+y(2+xy+xy²)/(1+xy)}

实在太复杂了，希望对你有帮助

追问

非常感谢，但是我还是有一个不明白，我书上
d²z/dy²==(1+xy)^y{[ln(1+xy)] +[(x²y²+2x+xy)/(1+xy)²]}，
我不明白是怎么来的，但是按这步骤来看，这个答案错啦，是不是这样？

追答

也许是答案错了，我没发现我的推导有哪里错误，你再仔细看看