Question

急悬赏多多地 如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的边AB在X轴上,AB=6,C0S角BCD=

如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的边AB在X轴上,AB=6,C0S角BCD=根号6/6，点A、点D的横坐标分别为-3、-1，抛物线Y=-根号5/8乘以X的平方+BX+C经过点A和点D。
（1）求点D的坐标
（2）求抛物线的关系式及顶点P的坐标
（3）点C在抛物线上吗？说明理由
（4）经过抛物线顶点P的一条直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，求这条直线的关系式

Answer 1

(1) ABCD为平行四边形，√∠BCD = ∠BAD

从D向AB作垂线，垂足E，AE= (-1) - (-3) = 2

cos∠BAD = cos∠BCD = AE/AD = 2/AD = √6/6

AD = 2√6

ED = √(AD² - AE²) = √(24 - 4) = 2√5

D(-1, 2√5)

(2) 代A,D的坐标入抛物线方程：

-9√5/8 -3b + c = 0

-√5/8 - b + c = 2√5

解得b = √5/2, c = 21√5/8

抛物线方程: y = -√5x²/8 +√5x/2 + 21√5/8

= -√5(x-2)²/8 +25√5/8

顶点P(2, 25√5/8)

(3) C(5,  2√5)

代C的横坐标入抛物线方程: y = -√5(5-2)²/8 +25√5/8 = 2√5, 为C的纵坐标，所以C在抛物线上。

(4)设该直线的斜率为k, 则其方程为y - 25√5/8 = k(x -2)

取y =0, x = 2 - 25√5/(8k), 直线与AB的交点为F(2 - 25√5/(8k), 0)

取y =2√5, x = 2 - 9√5/(8k), 直线与CD的交点为G(2 - 9√5/(8k), 2√5)

AFGD和FBCG均为梯形，而且高相等（即平行四边形ABCD在AB上的高), 要使该直线将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，只需AF+DG = FB +CG即可。

AF+DG = (AF+DG + FB +CG)/2 = (AB + CD)/2 = AB = 6

AF = 2 - 25√5/(8k) - (-3) = 5 - 25√5/(8k)

DG = 2 - 9√5/(8k) - (-1) = 3 - 9√5/(8k)

5 - 25√5/(8k) +  3 - 9√5/(8k) = 8 - 34√5/(8k) = 6

k =  17√5/8

直线方程为y - 25√5/8 = (17√5/8)(x -2)

y = (17√5/8)x - 9√5/8

Answer 2

1)AD=(-1-(-3))/cos<BCD=2/(√ 6/6)=2√ 6
点D的纵坐标=AD*sin<BCD=2√ 6*√ (1-√ 6/6)^2)=2√ 5
点D的坐标为（-1,2√ 5)
2)将点A（-3,0）和点D（-1,2√ 5）代入
0=-√ 5/8*(-3)^2+b*(-3)+c=-9√ 5/8-3b+c
2√ 5=-√ 5/8*(-1)^2+b*（-1）+c=-√ 5/8-b+c
b=√ 5/2
c=-21√ 5/8
抛物线：y=-√ 5x^2/8+√ 5x/2-21√ 5/8
顶点P的坐标为（2，-5√ 5/4）
3）点C的坐标为（5,2√ 5）
将x=5代入
-√ 5/8*5^2+√ 5/2*5-21√ 5/8=-13√ 5/4≠2√ 5
所以点C不在抛物线上
4）设直线为y=kx+b
-5√ 5/4=k*5+b (1)
直线与x轴相交于点E,即y=0
0=kx+b
x=-b/k
直线与CD相交于点F(x,2√ 5)
2√ 5=k*x+b
x=(2√ 5-b)/k
直线平分平行四边形
所以AE=CF
-b/k-(-3)=5-(2√ 5-b)/k
化简：k+b=√ 5 (2)
解（1）、（2）联立方程
k=-9√ 5/16
b=25√ 5/16
直线方程为y=-9x√ 5/16+25√ 5/16