Question

已知二次函数y=ax2+bx+c，一次函数y=k（x-1）-k2（平方）/4，若它们的图象对于任意的实数k都只有

一个公共点，求二次函数的解析式。
我两方程消去y,判别式=0后，化为（b-k)的平方-4a(c+k+k的平方/4)=0,我看百度上解此题，把上式进一步化为（1-a)k的平方-(4a+2b)k-4ac=0,则1-a=0,4a+2b=0,b的平方-4ac=0,则后面的式子1-a=0,4a+2b=0,b的平方-4ac=0不懂怎么来的。另外此题还有其他做法吗？谢谢

Answer 1

只能用判别式了。

消去y 得 ax^2+bx+c=k(x-1)-k^2/4，
即 ax^2+(b-k)x+(c+k+k^2/4)=0，
所以 判别式=(b-k)^2-4a(c+k+k^2/4)=0 对任意实数k恒成立，
将上式化为 (1-a)k^2-(4a+2b)k+b^2-4ac=0，
因为上式对任意实数k恒成立，所以 1-a=0，且 4a+2b=0，(为了消去k的影响，系数必为0)，代入则有 b^2-4ac=0，
解得 a=1，b=-2，c=1，
所求函数解析式为 y=x^2-2x+1 。