Question

求曲线方程y=sinx,0≤ x≤π与y=0所围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积

答案是Vy＝2π∫(0到π)x sin x dx
＝2π*(π/2)∫(0到π) sin x dx
＝(π^2)(-cos x)|(0到π)
＝2(π^2) 可我就是不明白这个是怎么来的？？求救高手

Answer 1

你还是说绕哪个轴旋转的体积怎么算？
如果是绕Y轴旋转，你可以先画出图形，是一个中心凹陷、中间凸起、边缘光滑过度的一个东东，它的体积有两种算法：一种是微薄片圆筒法求积，沿半径方向从0积到π，就是你写出来的这种解法，薄片圆筒的体积为底面积乘高，底面积为2πxdx，高为y=sinx，因此其微元体积为dV=2πxdx*sinx，然后将x从0积到π就行了。还有一种办法是截面法，就是用平行于xoz面（曲线为xoy面，设垂直于xoy面的方向为z轴方向）的相邻很近的两个平面来截该物体（也就是说用垂直于纸面即xoy面且平行于x轴的平面来截该物体），则得到一个薄圆环，横截面为一个圆环，圆环内径为x=arcsiny，外径为π-x=π-arcsiny，于是截面法得到的薄圆环的微体积为dV=π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy，故其体积
V=∫dV=∫（0，1）π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy=∫（0，1）π(π^2-2πarcsiny)dy=
π^3-2π^2∫（0，1）arcsinydy=π^3-2π^2*[yarcsiny|(0,1)-∫（0，1）y*1/√(1-y^2)dy]=
π^3-2π^2*[π/2+∫（0，1）1/2*1/√(1-y^2)d(1-y^2)]=π^3-2π^2*[π/2+√(1-y^2)|(0，1)=
π^3-2π^2*(π/2-1)=2π^2
如果是绕X轴旋转，你可以先画出图形，是一个中心轴在x=π/2上的一个近似椭球体形状的东东。其体积计算也可以按照微薄片圆筒法和从0积到π，也可按截面法从-1积到1。在此不予赘述。有问题请Hi我

追问

底面积为2πxdx，？？？如果是圆筒的话底面不是一个圆吗？？那应该是πr^2啊r=x的话应该是πx^2怎么你写的是底面积为2πxdx？？

追答

是啊，底面本来是个圆环，但因为是薄圆筒，故底面面积可按拉长了计算，拉长后相当于一个很窄的矩形，长为周长2πx，宽为dx。
如果还不明白，根据圆环面积算：内径为x，外径为x+dx的圆环面积为
π(x+dx)^2-πx^2=π(x^2+2xdx+(dx)^2-x^2)=2πxdx+π(dx)^2，(dx)^2为比dx更高阶的无穷小，故可略去，因此就有微圆环面积为2πxdx

Answer 2

＝(π^2)(-cos x)|(0到π)
＝2(π^2)
是最后一步不懂？
只要看-cos x|(0到π)=-cosπ-(-cos0)=2
所以：(π^2)(-cos x)|(0到π)＝2(π^2)

追问

哈哈~最后一步最简单好不？是第一步不懂啦哈哈~