Question

关于 线性代数 方程组 通解的问题

详情可以看图片
只知道 β1 β2 β3 是Ax=b 的三个解
怎么推导出 1/2 * (β2+β3) 也是Ax=b的解呢
又怎么推导出 β1- 1/2 * (β2+β3)也是 Ax=b 的解呢？
α=β1- 1/2 * (β2+β3) ！=0 就可以说明α是Ax=b 的基础解系么？
刚才把题目漏掉了
设四元线性方程组Ax=b 系数矩阵A的秩为3
又有β1 β2 β3是Ax=b 的三个解
且β1= (2,0,0,2)T β2+β3=(0,2,2,0)T
求 Ax=b 的通解

Answer 1

对隐式线性方程组, 注意以下几点:
1. 确定系数矩阵的秩r(A)
由此得 Ax=0 的基础解系所含向量的个数 n-r(A).
2. Ax=b 的解的线性组合仍是其解的充分必要条件是 组合系数的和等于1.
由此得特解
3. Ax=b 的解的差是Ax=0的解
由此得基础解系

此题:
1. r(A)=3 是已知, 四元线性方程组告诉我们 未知量的个数n=4.
所以 Ax=0 的基础解系所含向量的个数 n-r(A) = 4-3=1.
2. 特解β1= (2,0,0,2)^T 已给
3. 需再找一个特解,
已知 β2+β3=(0,2,2,0)T,
由上面说明中的(2) 知 1/2 (β2+β3) 也是Ax=b的解
故 β1- 1/2 * (β2+β3)也是 Ax=0 的解.
若此解非零, 则是一个基础解系 (因为Ax=0 的基础解系所含向量的个数是1)

PS. 基础解系也可以这样找:
(β2+β3)-2β1 = (-4,2,2,-4)^T ≠ 0.

参考: http://zhidao.baidu.com/question/344565085.html
http://zhidao.baidu.com/question/344563295.html
http://zhidao.baidu.com/question/344568117.html

Answer 2

代进去就可以了
β2和β3是Ax=b的解
说明Aβ2=b，Aβ3=b
然后A* 1/2(β2+β3)=1/2 （Aβ2+Aβ3）显然成立

下面那个你写错了， β1- 1/2 * (β2+β3)是Ax=0的解，不是Ax=b的解，验证方法和上面的是一样的。

对于这个其实有个定理：假如β1和β2是Ax=b的解，aβ1+bβ2也是Ax=b的解 (只要a+b=1)
aβ1-bβ2是Ax=0的解 （只要a-b=0)

第三问：是的，α肯定是基础解系，代入就能得出来了