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证明:当x>1时,x+1>2(x-1)/lnx
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原不等式可化为lnx>2(X-1)/(X+1)
因为
当X=1时 lnx=2(X-1)/(X+1)=0
设m=(lnx)'=1/x,n=[2(X-1)/(X+1)]'=4/(x+1)^2
当X>1时 m>0,n>0
所以lnx与2(X-1)/(X+1) 单调递增
m-n=(x-1)^2/4x(x+1)^2>0 (lnx斜率大于2(X-1)/(X+1)的斜率)
即证得:X大于1时 lnx>2(X-1)/(X+1 )
因为
当X=1时 lnx=2(X-1)/(X+1)=0
设m=(lnx)'=1/x,n=[2(X-1)/(X+1)]'=4/(x+1)^2
当X>1时 m>0,n>0
所以lnx与2(X-1)/(X+1) 单调递增
m-n=(x-1)^2/4x(x+1)^2>0 (lnx斜率大于2(X-1)/(X+1)的斜率)
即证得:X大于1时 lnx>2(X-1)/(X+1 )
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设y=(x+1)lnx-2(x-1)
y′=(x+1)/x+lnx-2=1/x+lnx-1
y′′=-1/x²+1/x
当x>1 时y′′=(1/x)(1-1/x)>0
所以当x>1时 y′单调增 当x=1时 y′=0 所以当x>1时y′>0
所以 当x>1 y单调增 当x=1 y=0 所以当x>1 y>0
所以当x>1 时 (x+1)lnx-2(x-1)>0
lnx( x+1)>2(x-1)
x+1>2(x-1)/lnx
y′=(x+1)/x+lnx-2=1/x+lnx-1
y′′=-1/x²+1/x
当x>1 时y′′=(1/x)(1-1/x)>0
所以当x>1时 y′单调增 当x=1时 y′=0 所以当x>1时y′>0
所以 当x>1 y单调增 当x=1 y=0 所以当x>1 y>0
所以当x>1 时 (x+1)lnx-2(x-1)>0
lnx( x+1)>2(x-1)
x+1>2(x-1)/lnx
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【1】
函数g(x)=(xlnx)+1-x. x∈[1, +∞)
求导,g'(x)=lnx
易知,当x≥1时,g'(x)=lnx≥0
∴在区间[1,+∞)上,函数g(x)=(xlnx)+1-x递增。
∴当x>1时,恒有g(x)>g(1)
即当x>1时,恒有(xlnx)+1-x>0
【2】
函数f(x)=[(x+1)lnx]-2(x-1), x∈[1, +∞)
求导,f'(x)=[(xlnx)+1-x]/x.
∵x∈[1, +∞), 结合上面的结论可知
在区间[1,+∞)上,f'(x)≥0
∴此时函数f(x)递增,
∴此时当x>1时,f(x)>f(1)
即恒有 [(x+1)lnx]-2(x-1)>0
∴(x+1)lnx>2(x-1), (x>1)
显然此时lnx>0
∴有x+1>[2(x-1)]/(lnx) x>1
函数g(x)=(xlnx)+1-x. x∈[1, +∞)
求导,g'(x)=lnx
易知,当x≥1时,g'(x)=lnx≥0
∴在区间[1,+∞)上,函数g(x)=(xlnx)+1-x递增。
∴当x>1时,恒有g(x)>g(1)
即当x>1时,恒有(xlnx)+1-x>0
【2】
函数f(x)=[(x+1)lnx]-2(x-1), x∈[1, +∞)
求导,f'(x)=[(xlnx)+1-x]/x.
∵x∈[1, +∞), 结合上面的结论可知
在区间[1,+∞)上,f'(x)≥0
∴此时函数f(x)递增,
∴此时当x>1时,f(x)>f(1)
即恒有 [(x+1)lnx]-2(x-1)>0
∴(x+1)lnx>2(x-1), (x>1)
显然此时lnx>0
∴有x+1>[2(x-1)]/(lnx) x>1
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设f(x)=(x+1)lnx-2(x-1)
则:f'(x)=lnx+(1/x)-1=h(x)
则:h'(x)=(1/x)-(1/x)²,在x>1时,h'(x)>0,即:h(x)在x>1时递增,且其最小值是h(1)=0,从而,得:f'(x)在x>1时的最小值是f'(1)=0,所以f'(x)在x>1时是恒大于0的,即函数f(x)在x>1时是递增的。
对于x>1,恒有:f(x)>f(1)
f(x)>0
即:当x>1时,(x+1)lnx-2(x-1)>0
则:当x>1时,x+1>2(x-1)/lnx
则:f'(x)=lnx+(1/x)-1=h(x)
则:h'(x)=(1/x)-(1/x)²,在x>1时,h'(x)>0,即:h(x)在x>1时递增,且其最小值是h(1)=0,从而,得:f'(x)在x>1时的最小值是f'(1)=0,所以f'(x)在x>1时是恒大于0的,即函数f(x)在x>1时是递增的。
对于x>1,恒有:f(x)>f(1)
f(x)>0
即:当x>1时,(x+1)lnx-2(x-1)>0
则:当x>1时,x+1>2(x-1)/lnx
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