Question

fx=x^3+ax^2-a^2x+5(a>0)(1)当函数fx有两个零点 求a (2)若a属于【3,6】x属于【-4,4】求fx最大值

用导数方法求

Answer 1

解：（1）f‘（x)=3x^2+2ax-a^2=(x+a)*(3x-a)
x1=-a , x2=a/3
列表：
x （负无穷，-a） -a （-a,a/3) a/3 (a/3,正无穷）
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
特殊点f（0）=5
通过图像可知f（-a）>0必然成立（因为f（0）>0),而要想f（x）有两个零点
则f（a/3）=0恒成立，即（a/3)^3+a(a/3)^2-（a^2）*（a/3)+5=0，解得a=3
（2）解：由上表可知f（-4）=-4a^2+16a-59;f(4)=-4a^2+16a+69
f(-a)=a^3+5,f(a/3)=(-5/27)a^3+5
因此f（x）的最大值便在这四个值中产生，而f（-4）<f(4)=-(a-2)^2+53<=49(此时a=3）
当4<a<=6时，-a属于【-6,-4），（a/3)属于（4/3,2】，此时通过图像和上可知f(4)=-4a^2+16a+69取得最大值；
当3<=a<=4时，-a属于【-4，-3】，（a/3)属于【1，4/3】，此时通过图像可知 f(-a)=a^3+5;
综上所述
当4<a<=6时，f（x）max=-4a^2+16a+69；
当3<=a<=4时，f（x）max=a^3+5

Answer 2

f(x)=x³+ax²-a²x+5 (a>0)

1、f(x)有两个零点时，说明方程 x³+ax²-a²x+5=0 有两个解。因为三次方程通常有三个解。所以必定有两解是重复的。即：
x³+ax²-a²x+5
=(x+m)²(x+n)
=(x²+2mx+m²)(x+n)
=x³+(2m+n)x²+(m²+2mn)x+m²n

所以有：
2m+n=a
m²+2mn=-a²
m²n=5

解得：
m=-5^(1/3)
n=5^(1/3)
a=-5^(1/3)
——————由于a>0，此组解舍去。—————

或：
m=-1
n=5
a=3

2、
没想好

Answer 3

函数f(x)=x³+ax²-a²x+5, (a＞0)
求导f'(x)=3x²+2ax-a²=3(x+a)[x-(a/3)]
∴该函数驻点为x=-a, x=a/3
且在x=-a处取得极大值,
在x=a/3处取得极小值
满足题设的a=5^(1/3)
f(x)max=f(4)