Question

求不定积分∫1/(x^4*√(1+x^2))dx

Answer 1

x=tant,dx=(sect)^2dt
原积分=S1/((tant)^4*sect)*(sec)^2dt
=Scost^3/sint^4 dt
=S(1-sint^2)/sint^4d(sint)
=S(1/sint^4)dsint-1/sint^2)dsint
=-1/3*（sint）^（-3）+1/sint+c
=-1/3*(x/√(x^2+1))^(-3)+√(x^2+1) /x +c

Answer 2

令x＝tanθ，则：
√（1＋x^2）＝√［1＋（tanθ）^2］＝1/cosθ，
sinθ＝√｛（sinθ）^2/［（sinθ）^2＋（cosθ）^2］｝＝√｛（tanθ）^2/［（tanθ）^2＋1］｝
＝tanθ/√［（tanθ）^2＋1］＝x/√（x^2＋1），
dx＝［1/（cosθ）^2］dθ。
∴原式＝∫｛1/［（tanθ）^4（1/cosθ）］｝［1/（cosθ）^2］dθ
　　　＝∫｛1/［（tanθ）^4cosθ］｝dθ
　　　＝∫［（cosθ）^3/（sinθ）^4］dθ
　　　＝∫［（cosθ）^2/（sinθ）^4］d（sinθ）
　　　＝∫｛［1－（sinθ）^2］/（sinθ）^4｝d（sinθ）
　　　＝∫［1/（sinθ）^4］d（sinθ）－∫［1/（sinθ）^2］d（sinθ）
　　　＝－（1/3）［1/（sinθ）^3］＋（1/sinθ）＋C
　　　＝1/［x/√（x^2＋1）］－（1/3）/［x/√（x^2＋1）］^3＋C
　　　＝√（x^2＋1）/x－（x^2＋1）√（x^2＋1）/（3x^3）＋C