Question

问一道初三数学题

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连接AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1） 直线y=-x+3与x轴轴相交于点B，
当y=0时，x=3，
点B的坐标为(3，0) ．
又因为抛物线过x轴上的A、B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
点A的坐标为（1，0） ．
（2）因为y=-x+3过点C，易知C(0，3)，
所以c=3．
又因为抛物线y=ax^2+bx+c 过点A(1,0)，B(3,0)，
所以a+b+3=0,9a+3b+3=0
解得a=1,b=-4
y=x^2-4x+3．
（3）连结PB，由y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，得P(2,-1)，
设抛物线的对称轴交x轴于点M，在直角三角形PBM中，PM=MB=1，
所以∠PBM=45º，PB=√2．
由点B(3,0)、C(0,3)易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，
∠ABC=45º，
由勾股定理，得BC=3√2．
假设在X轴上存在点Q，使得以点P、B、Q 为顶点的三角形与三角形ABC相似．
①当BQ/BC=PB/AB，∠PBQ=∠ABC=45º 时，三角形PBQ∽三角形ABC．
即BQ/3√2=√2/2，BQ=3，
又BO=3， 点O与点Q重合，Q₁的坐标是(0,0)．
②当QB/AB=PB/BC，∠QBP=∠ABC=45º 时，三角形QBP∽三角形ABC．
即 QB/2=√2/3√2，所以QB=2/3．
因为OB=3，所以OQ=OB-QB=3-2/3=7/3。
所以Q₂的坐标是(7/3,0)． （11分）
因为∠PBx=180º-45º=135º，∠BAC＜135º，所以∠PBx≠∠ABC．
所以点Q不可能在B点右侧的x轴上．
综上所述，在x轴上存在两点Q₁(0,0)、Q₂(7/3,0)，能使得以点P、B、Q为顶点的三角形与三角形ABC相似．

Answer 2

解：
B(3,0) C(0,3)
有对称轴是x=2 得-b/a=2 再带入B C两点坐标
a=-1 b=2 c=3
带入原函数 当y=0时 求出两个x 不同于B坐标的即为A
2.已知3点可求抛物线
设P点为（2，m),在Y=x^2-4x+3的图象上，则：
m=2^2-4*2+3,m=-1.则PB=√2，∠CBO=∠PBO=45°。
由勾股定理可求得：CB=3√2。
∵以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似
∴PB/BQ=AB/BC或PB/BQ=BC/AB
即√2/BQ=2/(3√2）或√2/BQ=(3√2)/2
可求得：BQ=3或2/3。
所以X轴上这样的点Q有两个：
1）BQ=3时，Q在原点，坐标为（0，0）；
2）BQ=2/3时，OQ=3-2/3=7/3，即点Q为（7/3，0）。

Answer 3

直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C
所以B=(3,0)
C=(0,3)
又因为对称轴是直线x=2．
所以Y=X²-4X+3
A=(1,0)
B=(3,0)
P=(2，-1)
Q=(7/3,0)的时候P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似