Question

一道数学题 二次函数 帮帮忙吧 要快！

已知关于X的二次函数y=ax^2+bx+c
的图像经过点C（0,1），且与x轴交于不同的两点A,B。点A的坐标为（1,0）
（3）该二次函数的图像与直线y=1交于C，D两点，设A，B，C，D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证S1-S2为常数，并求出该常数.

Answer 1

这个是今年广州市中考题第24题，我栽在这道题第3问上了，现在给出我的答案：
首先从第1问可以得到c=1，从第二问可以得到a+b+1=0，下面计算第三问：
解：由题设知，0＜a＜1，
函数y=ax^2-(a+1)x+1与x轴的交点为A(1,0)和B(1/a,0)，
与直线y=1交于C(0,1)和D((a+1)/a,1)，
则AB=(1-a)/a，CD=(a+1)/a，
记△PAB的高h[AB]，△PCD的高为h[CD]，
则h[AB]+h[CD]=1（y=1与x轴之间的距离为1），
显然△PAB与△PCD相似，
故h[AB]/h[CD]=AB/CD=(1-a)/(1+a)，
解得h[AB]=(1-a)/2，h[CD]=(1+a)/2，
故S2=S△PAB=AB*h[AB]/2=(1-a)^2/4a，
S1=S△PCD=CD*h[CD]/2=(1+a)^2/4a，
则S1-S2=4a/4a=1，
也就是说，S1-S2为常数。

Answer 2

该常数是3/2
根据A、C点坐标可求出函数表达式为y=ax^2-(a+1)x+1.
与y=1的交点D的坐标可以用含a的式子表达出来，即D（(a+1)/a,1）
点B的坐标也可以用含a的式子表达出来，即B（1/a，0）。
则线段CD=（a+1）/a、线段AB=（1-a）/a
设△PCD的高为h1，△PAB的高为h2，
则S1-S2=（CD/2）×h1-（AB/2）×h2
=（1/2）[(a+1)/a]×h1-（1/2）[(1-a)/a]×h2
=[（h1-h2）/2a]+1
∵h1、h2为△PCD和△PAB的高，且AD、BC交于P
∴h1+h2=1
可证△PCD和△PAB相似，∴CD/AB=H1/H2
代入化简，结果为h1=[(a+1)/(1-a)]h2
则h1+h2=1
[(a+1)/(1-a)]h2+h2=1
h2=（1-a）/2，h1=(a+1)/2
代入，
S1-S2=[（h1-h2）/2a]+1=3/2
∴S1-S2为常数，该常数为3/2