Question

函数f(x)=ax^3-6ax^2+b,x∈[-1,2]的最大值为3，最小值为-29，求a,b的值

思路哦

Answer 1

f(x)=ax^3-6ax^2+b,x∈[-1,2]
f'(x) = 3ax^2 - 12ax = 3a(x+2)(x-2)
假设a＞0，则函数在区间[-1,2]单调减，f(-1)=3，f(2)=-29
-a-6a+b=3，8a-24a+b=-29
即：-7a+b=3，-16a+b=-29
a=32/9，b=251/9

假设a＜0，则函数在区间[-1,2]单调增，f(-1)=-29，f(2)=3
a-6a+b=-29，8a-24a+b=3
即：-7a+b=-29，-16a+b=3
a=-32/9，b=-37/9

Answer 2

f′＝3ax(x-4)=0,
x=0∈[-1,2]，x=4不属于[-1,2]故舍去。
－1≤x<0, f′>0, f(x)是增函数。
0<x≤2, f′<0, f(x)是减函数。
故x＝0是f(x)在[-1,2]上惟一极大值点。
f max＝f（0）＝b＝3。
f(x)在[-1,2]的最小值
f min＝min{f(-1),f(2)}
f(-1)=-7a+3,
f(2)=-16a+3.
当a＝0时，f min＝f（－1）＝f（2）＝3与f min＝－29矛盾。
当a>0时，f(-1)>f(2), f min=f(2)=-16a+3=-29, a=2.
当a<0时，f(-1)<f(2), f min=f(-1)=-7a+3=-29, a=32/7.无解。
所以
a＝2，b＝3。

Answer 3

a<>0
f'(x)=3ax^2-12ax=3ax(x-4)=0 x1=0 x2=4(不在区间内)
f(-1)=-7a+b f(0)=b f(2)=-16a+b
(1)若a<0，最大值=-16a+b=3，最小值==