Question

如图，△ABC的内切圆I分别切三角形三边于点D,E,F.

1.如果角C=60°，那么∠DFE多少度
2.如果三角形的三边AC=5cm，AB=7cm,BC=8cm,那么BD为多少
3.改变△ABC的形状，△DEF一定是锐角三角形吗，为什么？

Answer 1

解答：
1、连接IE、ID，则IE=ID=半径，∠IEC=∠IDC=90°，CE=CD﹙公切线长相等﹚，
由四边形内角和定理得：∠C＋∠EID=180°，∠C=60°，
∴∠EID=120°，
而∠EID=2∠EFD﹙同弧所对的圆心角是圆周角的2倍﹚，
∴∠EFD=60°。
2、设BD=a，CE=b，AF=c，
由公切线长相等得：
①a＋b=8，
②b＋c=5，
③c＋a=7，
①＋②＋③得：
④a＋b＋c=10，
∴④－②得：a=5，
即BD=5。
3、由1、的结论得：∠C＋2∠EFD=180°，
∴∠EFD=½﹙180°－∠C﹚=90°－½∠C，
∴∠EFD一定是锐角，
同理得：∠FED、∠FDE也是锐角，
∴△EFD一定是锐角△，
∴△ABC的形状无论怎样改变，△EFD一定是锐角△。