Question

高数，不定积分

∫e^x(1+sinx)/(1+cosx)d(x) 怎么求？把方法讲一下吧～～～

Answer 1

那我就将方法讲解下吧
∫e^x*(1+sinx)/(1+cosx) dx，先拆开分子的括号
= ∫e^x/(1+cosx) dx + ∫(e^x)*sinx/(1+cosx) dx
= ∫e^x/(1+cosx) dx + ∫sinx/(1+cosx) de^x，将e^x积分后放进d里，进行分部积分法，第一个积分不变
= ∫e^x/(1+cosx) dx + e^x*sinx/(1+cosx) - ∫e^x d[sinx/(1+cosx)]，sinx/(1+cosx)和e^x互相调换了位置
= ∫e^x/(1+cosx) dx + e^x*sinx/(1+cosx) - ∫e^x * [cosx(1+cosx)-sinx(0-sinx)]/(1+cosx)² dx
= ∫e^x/(1+cosx) dx + e^x*sinx/(1+cosx) - ∫e^x * (cosx+cos²x+sin²x)/(1+cosx)² dx
= ∫e^x/(1+cosx) dx + e^x*sinx/(1+cosx) - ∫e^x * (1+cosx)/(1+cosx)² dx
= ∫e^x/(1+cosx) dx + e^x*sinx/(1+cosx) - ∫e^x/(1+cosx) dx，分子和分母约掉一个1+cosx
= e^x*sinx/(1+cosx) + C
= e^x*[2sin(x/2)cos(x/2)]/[1+2cos²(x/2)-1] + C，公式sin2x=2sinxcosx，cos2x=2cos²x-1
= (e^x)tan(x/2) + C

Answer 2

∫e^xdx/(1+cosx) +∫e^xsinxdx/(1+cosx)
=∫e^xd(x/2)/[cos(x/2)]^2 +∫tan(x/2)de^x
=∫e^xd(tan(x/2) +∫tan(x/2)de^x
=e^xtan(x/2)-∫tan(x/2)de^x+∫tan(x/2)de^x+C
=e^xtan(x/2)+C