Question

求圆X^2+Y^2+Z^2=1 X+Y+Z=0的参数方程

Answer 1

解：令 z(t)=t,-1<t<1.
则 x^2+y^2+t^2=1, (1)
x+y+t=0. (2)
由(2)得
x+y=-t. (3)
即 x^2+y^2+2xy=t^2. (4)
(2)-(1)得
2xy-t^2=t^2-1,
即 xy=t^2-1/2. (5)
由 (3)(5)知,x,y 是方程
u^2+tu+t^2-1/2=0 (6)
的两根.
而由 Delta=t^2-4(t^2-1/2)
=2-3t^2>=0,
得 -(根号6)/3<=t<=(根号6)/3.
所以 解方程(6)得
u1=(-t+根号(2-3t^2))/2,
u2=(-t-根号(2-3t^2))/2.
由对称性, 不妨令
x=u1,y=u2.
故该圆的参数方程为
x(t)=(-t+根号(2-3t^2))/2,
y(t)=(-t-根号(2-3t^2))/2,
z(t)=t,
t属于( -(根号6)/3, (根号6)/3 ).