Question

已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,G是BC上的一点,DG⊥BC交CA的延长线于点D,交AB于点F,

E是DF的中点，求证：AE⊥DG

Answer 1

∵∠B=∠C

∴∠ADF+∠AFD=180°-∠B-∠C=180°-2∠B

又∵∠AFD=∠BFG，DG⊥BC

∴∠AFD=∠BFG=90°-∠B

∴∠ADF=180°-2∠B-（90°-∠B）=90°-∠B

即∠ADF=∠AFD

又E是DF中点，根据等腰三角形性质知，AE⊥DF

Answer 2

证明:∵DG⊥BC;∠B=∠C.
∴∠ADF=∠GFB(等角的余角相等);
∵∠AFD=∠GFB(对顶角相等)
∴∠ADF=∠AFD(等量代换).
∴AD=AF.(等角对等边)
又∵E是DF的中点.
∴AE⊥DG.(等腰三角形底边上的中线也是底边的高)

Answer 3

作∠BAC的平分线交BC于M，因为等腰三角形，所以AM⊥BC，所以AM∥DG，所以∠CAG=∠D，∠GAB=∠AFD，由∠CAG=∠GAB得到∠D=∠AFD，所以AD=AF，又E是DF中点，所以AE⊥DG。