Question

如何建立[0,1]到R的一一对应的映射？

即：f:[0,1]-->R
x |-> ?
注意是闭区间[0,1]——感谢sunshine同学提醒
强调一下，是一一对应，单射+满射

Answer 1

建立[0,1]到R的一一对应的映射

这是一个"实变函数"课程中的典型问题,要用到集合"势"的概念.

在讲此题前,我先形象地说说"集合势",集合分有限集和无限集,

有限集的"势",就是元素的个数; 而对于无限集来说,它也有"哪一个无限集里的元素多"的比较.所以,针对无限集,元素个数的多少,就要用到"势"的概念.

如果两个集合A,B的势相等,我们就说"这两个无限集里的元素个数是一样多的"

那么如何说明"两个无限集里的元素个数是一样多的"呢?

这个问题对于有限集,很简单,分别数一下两个元素的个数,如果个数相等即可.但是当它们是无限集,你就没有办法数了.因为你数来数去它们都是无穷多个,永远也数不完.

这时,"实变函数"论里,就提出了判断两个无限集势大小的方法,就是利用了"一一对应(或者叫双射,既满又单),也就是说,如果两个无限集,找到一个映射f,而且f是一个双射,那么这两个集合就等势.所以,你的问题,其实就是要找[0,1]到R的双射f,即如果这个双射f是存在的,那么[0,1]与R等势.

事实上,我可以告诉你[0,1]与R是等势的.即这样的双射f存在.

为什么这样说呢，我分两步告诉你，

第一步，你要证明(0,1)与R等势
第二步，你要证明[0,1]与(0,1)等势

这样，由“等势”关系的传递性，知[0,1]与R等势

第一步，(0,1)与R等势，这非常好证明，因为

ctan(x) 就是一个从(0,pi)到R上的双射，因此，我把定义域(0,pi)压缩一下，自变量乘以pi,即为

g(x)=ctan(pi*x)就是一个从(0,1)到R上的双射。所以这样的双射找到了，是g(x)=ctan(pi*x).因此(0,1)与R等势

第二步，证明[0,1]与(0,1)等势

这里你一开始理解可能无从下手，但是有一个技巧，也就是要找一个从[0,1]到(0,1)的双射，是这样找的。

首先，把[0,1]和(0,1)分别分解如下：

[0,1]=(0,1)\Q ∪ （Q∪{0}∪{1}）
(0,1)=(0,1)\Q ∪ Q

上面的Q={1/n | n=2,3,4,....}是的集合（这是一个“可列集”，它是“势最小的”无限集）

这样我们其实把[0,1]和(0,1)都分解成了两部分

在它们的公共部分(0,1)\Q到(0,1)\Q上,我取一个恒等映射idx(x) 这里x∈(0,1)\Q

在它们的不同部分（Q∪{0}∪{1}）到Q上，我取映射h(x),
h(x)=
{
若x=0,h(x)=1/2;
若x=1,h(x)=1/3;
若x∈Q,即x=1/n (n=2,3,4...) ,则h(x)=h(1/(n+2)) (n=2,3,4....)
}

h(x)中的x∈（Q∪{0}∪{1}）

于是我令
p(x)=
{
若x∈(0,1)\Q, p(x)=idx(x);
若x∈(Q∪{0}∪{1}), p(x)=h(x);
}

这样构造出来的p(x)就是一个从[0,1]到(0,1)上的双射

也就证明了[0,1]与(0,1)等势

综合，第一步和第二步，我再取
f(x)=g(p(x))

即,f(x)是先从[0,1]通过p映到(0,1),再通过g由(0,1)映到R

就是让f是p与g的复合函数。

这样构造的f显然是双射,因为p与g都是双射.

所以你要的f找到了，同时也说明了[0,1]与R是等势的。

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最后整理一下你要的f(x)一一对应表达式，

f(x)=g(p(x))，

其中
g(x)=ctan(pi*x),
p(x)={
若x∈(0,1)\Q, p(x)=idx(x);
若x∈(Q∪{0}∪{1}), p(x)=h(x);
}

这里的

idx(x)是等恒映射，
h(x)=
{
若x=0,h(x)=1/2;
若x=1,h(x)=1/3;
若x∈Q,即x=1/n (n=2,3,4...) ,则h(x)=h(1/(n+2)) (n=2,3,4....)
}

这就是你要的答案
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Answer 2

第一步：建立[0，1]到（0，1）的一一映射
g(x)=1/2,x=0;
1/4,x=1;
1/2^(n+2),x=1/2^n;
x,其它。
第二步：建立（0，1）到R的一一映射
f(x)=tan(Pi x-Pi/2) {说明，这里的Pi代表圆周率}
第三步：建立[0，1]到R的一一映射（由以上两步复合得到）
F（x)=0,x=0;
-1,x=1;
tan(Pi/2^(n+2)-Pi/2),x=1/2^n;
tan(Pi x-Pi/2),其它。
这个解法应该是正确的，请仔细看看。

Answer 3

先来看一个好理解的：
球面到整平面的映射 这里球面必须去掉一个点才能建立双射
一般称那点为北极点 如果不这样球面与平面是不能同胚的
同理[0,1]到R也不能同胚 只有（0，1）与R才能同胚
[0,1]就与R不能建立双射
说大一点这就是拓扑学研究的范畴

Answer 4

我觉得题目有问题：
闭区间[0,1]是有界限的，而实数R(-∝,+∝)是开区间，也就是说R是没有边界的。一个有界限的集合能不能一一映射到一个没有边界的集合呢？我认为不可能。就拿+∝来说，它本身就是一个趋向性的概念，那么根据一一映射的概念，在[0,1]中必然有一个只能无限接近而又不能等于的数A，与之对应；并且在[0,1]中，由0或1到无限接近这个数的同时，由于一一映射，也就必然遍历R(-∝,+∝)，即：没有“空闲”的数与数A一一对应，与前面矛盾。
不知想法是否正确，请指正。

Answer 5

你是高中还是大学？
大学的话可以用高等函数定义啊
比方说tan 然后你再定义端口的值就可以了啊

用初等函数的话 那是不可能的
因为在闭区间内的初等函数都是连续的 而连续函数在闭区间内一定有max 和min 所以它取不到R

满意否？