Question

求不定积分∫{[ln(e^x+1)]/e^x}dx

Answer 1

想办法换元，简化结构，然后利用分部积分去掉对数符号，就成会算的多项式积分了
所求积分=∫{[ln(e^x+1)]/e^2x}e^x dx=∫{[ln(e^x+1)]/e^2x}de^x
令t=e^x 则积分=∫{[ln(t+1)]/t^2}dt=∫ln(t+1)d(-1/t)=-ln(t+1)*1/t+∫1/tdln(t+1)=∫(1/t(1+t)dt-In(1+t)*1/t
=Int-In(1+t)-In(1+t)/t
最后回带，结果x-In(1+e^x)-In(1+e^x)/e^x
这坑爹的符号，写起来容易打起来气死人
反正方法就是这样，你再算下，看看对不对

Answer 2

∫ln(e^x+1)dx/e^(x)
=-∫ln(e^x+1)de^(-x)
=-e^(-x)ln(e^x+1) +∫e^(-x)*(e^x)dx/(1+e^x)
=-e^(-x)ln(e^x+1)+∫dx/(1+e^x)
=-e^(-x)ln(e^x+1)+∫[1-e^x/(1+e^x)]dx
=-e^(-x)ln(e^x+1)+x-ln(e^x+1)+C