Question

非零向量a，b满足：|b|=1，且b与b-a的夹角为30度，求|a|的取值范围？麻烦给个详解。

Answer 1

用图解：|a|、|b|、|b-a|组成三角形，|b|=1固定长，|b|、|b-a|夹角为30度。a向量和b向量的起点重合，当a向量垂直b-a向量时，|a|最小=1/2，|a|最大没有限制。
所以，|a|的最值范围是[1/2，+无穷)

追问

恩，这个方法我会，我想问的是老师讲的一个用余弦定理的求法。

追答

|a|^2=|b|^2+|b-a|^2-2|b||b-a|cos30=|b-a|^2-√3|b-a|+1，看成是关于|b-a|的二次函数。
|a|^2的值域是[1/4，+无穷)，|a|的取值范围是[1/2，+无穷)

追问

恕余愚钝，吾家就是闹不明白，为什么
|a|^2的值域是[1/4，+无穷)，关键就是这[1/4怎么来的？

追答

|a|^2=|b|^2+|b-a|^2-2|b||b-a|cos30=|b-a|^2-√3|b-a|+1，看成是关于|b-a|的二次函数。
y=x^2--√3x+1，值域是[1/4，+无穷)，明白吗

追问

好吧，我知道了，感谢您，万能的数学大神！