Question

关于三角函数和直线方程的问题

已知A、B、C为三角形的三个内角，若原点到直线L：xsinA+ysinB+sinC=0的距离大于1，则此三角形为_______
答案是：钝角三角形，为什么呢？谢谢~

Answer 1

点到直线距离公式为：若点为（a,b），方程为Ax+By+C=0，则距离d=|A·a+B·b+C|/√(A²+B²) ，由题意可得d=|sinC|/√(sinA²+sinB²) >1，两边平方，得sinC²>sinA²+sinB²，再由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ，上式可以转换为c²>a²+b²，最后运用余弦定理，cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b) <0，显然C角为钝角。记住，判断是否有钝角都是用余弦定理得出小于0.

Answer 2

原点到直线L：xsinA+ysinB+sinC=0的距离
d=|sinC|/√(sin^2A+sin^2B)
=sinC/√(sin^2A+sin^2B)
用正弦定理代换
a/sinA=b/sinB=c/sinC
得
d=c/√(a^2+b^2)>1
即c^2>a^2+b^2
因此是钝角三角形，且C是最大角