Question

如图,二次函数的图像经过点A(1,0),B(3,0),C(0,4)三点 求：（1）这个二次函数的解析式 （2）在这个二次函数

如图,二次函数的图像经过点A(1,0),B(3,0),C(0,4)三点 求：
（1）这个二次函数的解析式
（2）在这个二次函数图像的对称轴上是否存在点P时间、使∠APC=90°？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
（3）点M是这个二次函数图像上从点C到点B上的一动点（与点B、C不重合），问当点M在什么位置时，△BCM的面积最大，求出此时点M的坐标及△BCM的面积的最大值

Answer 1

(1)由题意，可设　y=a(x-1)(x-3)，将C(0,4)代入，得a=4/3，所以　y=(4/3)x²-(16/3)x+4
(2)对称轴为x=2，设P(2,y)，则向量AP=(1,y)，向量CP=(2,y-4)
由于　AP⊥CP，所以　2+y(y-4)=0，解得y=2±√6，即P(2，2±√6)
(3)求出与BC平行的抛物线的切线，则切点M与BC组成的△BCM的面积最大。
BC的斜率为-4/3，方程为4x+3y-12=0
设切线为y=(-4/3)x+b，代入y=(4/3)x²-(16/3)x+4，得
(-4/3)x+b=(4/3)x²-(16/3)x+4
(4/3)x²-4x+4-b=0
⊿=16-(16/3)(4-b)=0，解得　b=1,代回方程，解得x=3/2，y=-1　即M(3/2，-1)
|BC|=5，M到BC的距离为|6-3-12|/5=9/5
△BCM的面积最大值为5×(9/5)/2=9/2

Answer 2

。在

Answer 3

过B点作BE⊥AP，垂足为E，过C点分别作
CD⊥AP，CF⊥BE，垂足为D，F，则四边形CDEF为
矩形
所以CD=EF，DE=CF，
因为∠QBC=30°，所以∠CBF=60°
因为AB=20， ∠BAD=40°，所以AE=ABcos40°≈15.3
BE=ABsin40°≈12.9，因为BC=10， ∠CBF=60°，
所以BF=BCcos60°≈5， CF=BCsin60°≈8.7
所以CD=EF=BE-BF=7.9
因为DE=CF=8.7，所以AD=DE+AE=24
由勾股定理
此时小船距离港口约25海里。