Question

关于不等式的最值问题？

若a>0,b>0,且函数f（x)=4x^3-ax^2-2bx+2在x=1处有极值，则（1/a+4/b)的最大值为多少？
要详细过程！！！

Answer 1

这题让求最大值的话就不是考基本不等式了，就得用函数恒等变形了
f'(x)=12x^2-2ax-2b
首先由“x=1处有极值”得：
f'(1)=0且f'(x)的△≠0
由a>0，b>0得△不可能等于0
由f'(1)=0得a+b=6
所以b=6-a
由a>0,b>0得a∈(0,6)
a的范围知道了，函数的值域就好求了

设1/a+4/b=f(a)=1/a + 4/(6-a)
所以f(a)=(3a+6)/(6a-a^2)
设3a+6=t，则a=(t-6)/3，且t∈(6,24)
f(a)=g(t)=t/[2(t-6)-[(t-6)/3]^2]
=9t/(-t^2+30t-144)
=9/[30-(144/t + t)]
由t∈(6,24)得：(t=12时取得最小值24)
144/t + t∈[24,30)
所以[30-(144/t + t)]∈(0,6]
所以9/[30-(144/t + t)]∈[3/2,+∞)

显然，原式没有最大值。只有最小值3/2

这题肯定是让求最小值：
因为a+b=6
所以原式=6(1/a+4/b)/6
=(a+b)(1/a+4/b)/6
=(b/a + 4a/b +5)/6
因为a>0且b>0
所以由基本不等式得b/a + 4a/b的最小值为4，当且仅当a=2,b=4时取得最小值。
所以原式的最小值为3/2

Answer 2

f(x)在x=1处有极值，即f'(1)=0
f'(x) = 12x² - 2ax -2b
f'(1) = 12-2a-2b=0
a+b=6
下面求1/a+4/b的最大值
令y(a,b,k) = 1/a+4/b + k(a+b-6)，分别关于a、b、k求导，有
y‘(a) = -1/a²+k = 0
y'(b) = -4/b²+k = 0
y'(k) = a+b-6 = 0
解得a = 2, b = 4, k = 1/4
此时1/a+4/b取得最大值3/2

追问

这是最小值吧，因为我用均值定理算得了最小值是3/2啊

追答

验证过，确实是最小值
f(a)=1/a+4/b=1/a - 4/(a-6)
f'(a) = -1/a² + 4/(a-6)² = [4a²-(a-6)²]/a²(a-6)² = [3a² + 12a -36]/a²(a-6)²
=3[a²+4a-12]/a²(6-a)² = 3(a-2)(a+6)/a²(6-a)²
∵a>0,b>0, a+b=6
∴00, a²(6-a)²>0
当00, f'(a)>0, f(a)关于a递增，f(a)<f(6)→+∞
所以当a=2时，1/a+4/b取最小值，当a→0或6时，1/a+4/b→+∞

追问

抱歉啊，我要求的是它的最大值！

Answer 3

求导函数f'(x)，再由f'(x)=0，x=1得出一个只含有a和b的等式。再用均值定理就行了

追问

就是怎么变形求得（1/a+4/b）的最大值啊，我只求得了它的最小值，能再详细说说吗？