Question

已知3sin²α-2sinα+2sin²β=0，试求sin²α+sin²β的取值范围。 在线等待，谢谢

Answer 1

2sin²β=-3sin²α+2sinα
因为0≦sin²β≦1；
所以：0≦-3sin²α+2sinα≦2；
-3sin²α+2sinα≦2是恒成立的，
所以，得：0≦sinα≦2/3；
sin²α+sin²β=sin²α+(-3sin²α+2sinα)/2
=-sin²α/2+sinα
令sinα=t，t属于[0,2/3]；
y=-t²/2+t
开口向上，对称轴为t=1，所以在区间[0,2/3]上递增，
最大值为t=2/3时，y=4/9；
最小值为t=0时，y=0；
所以，sin²α+sin²β的取值范围是[0,4/9]；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

追问

谢谢啊
其他的我都明白了，可是为什么0≦sin²β≦1

追答

因为-1≦sinβ≦1；
所以0≦sin²β≦1

Answer 2

因为 2(sinb)^2=2sina-3(sina)^2>=0，
所以 0<=sina<=2/3，
则 (sina)^2+(sinb)^2=(sina)^2+[2sina-3(sina)^2]/2
=-1/2*(sina)^2+sina
=-1/2*(sina-1)^2+1/2，
可以看出，当 sina=0时，有最小值0，当sina=2/3时，有最大值4/9，
因此，所求的取值范围是 [0，4/9] 。

Answer 3

2sin^2α+2sin^2β+sin^2α-2sinα=0
2sin^2α+2sin^2β+(sinα-1)^2-1=0
sin²α+sin²β=[1-(sinα-1)^2]/2
-1<=sina<=1
-2<=sina-1<=0
0<=(sinα-1)^2<=4
-3/2<=[1-(sin-1)^2]/2<=1/2
所以[-3/2,1/2]为sin²α+sin²β的取值范围