Question

已知F(x)=X+a/X,其中a是大于0的常数,求F(X)在[1,2]上的最大值最小值?

Answer 1

f '(x)=1-a/x^2，令 f '(x)=0，则 x=√a。
因此，f(x)在（0，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增。
1）若 √a<1 即 0<a<1，则f(x)在[1，2]上为增函数，
所以 最大值=f(2)=2+a/2，最小值=f(1)=1+a；
2）若 √a>2 即 a>4，则 f(x) 在 [1，2] 上为减函数，
所以 最大值=f(1)=1+a，最小值=f(2)=2+a/2；
3）若 1<=√a<=2，即 1<=a<=4，则 f(x) 在 [1，√a] 上为减函数，在 [√a，2] 上为增函数，
所以 最小值=f(√a)=2√a；令 1+a>2+a/2，则 a>2，
因此，当 1<=a<2时，最大值=f(2)=2+a/2，当 2<=a<=4时，最大值=f(1)=1+a。

综上，0<a<1时，最小值=1+a，最大值=2+a/2；
1<=a<2时，最小值=2√a，最大值=2+a/2；
2<=a<=4时，最小值=2√a，最大值=1+a；
a>4时，最小值=2+a/2，最大值=1+a。