Question

关于cos(f(x))函数积分的不等式问题

第一题
f(x)在[a,b]上可导，f'(x)递减，|f'(x)|>=m>0,证|积分a到b cosf(x)dx|<=2/m
第二题
f(x)在[a,无穷]上可微，且x->无穷，f'(x)单增趋于无穷
则积分a到无穷sin(f(x))dx和积分a到无穷cos(f(x))dx都收敛

Answer 1

第一题
\int_a^b cos(f(x)) dx = \int_a^b 1/f'(x) * cos(f(x))f'(x) dx
由导函数的介值性质，f'(x)保持同号，由积分第二中值定理得到
\int_a^b 1/f'(x) * cos(f(x))f'(x) dx
= 1/f'(a) \int_a^\xi cos(f(x))f'(x) dx
= 1/f'(a) [sin(f(\xi))-sin(f(a))]
或者
\int_a^b 1/f'(x) * cos(f(x))f'(x) dx
= 1/f'(b) \int_\xi^b cos(f(x))f'(x) dx
= 1/f'(b) [sin(f(b))-sin(f(\xi))]
取决于f'(x)的符号
不论哪种情况都可以得到结论。

第二题
任取\epsilon>0，存在G>a，当x>G时f'(x)>\epsilon^{-1}
利用第一题的结论，对于任何u,v>G，|\int_v^u cos(f(x)) dx| <= 2\epsilon
由Cauchy收敛原理即得结论。
sin(f(x))的情形同理。

Answer 2

D.f（cos2）＞f（sin2）问题补充： D为什么是错的？ D选项 也是正确的 因 f(x)=f(x+2) 且 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4| 则x∈[-

Answer 3

000112002415263.

Answer 4

ccf

追问

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