Question

若f(x)是定义在R上的函数，f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式。

Answer 1

直接令x=0，代入f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1) 得到f(y/2)=1+y^2+y
在令y/2=t ，y=2t； 故，f（t）=4t^2+2t+1:再把t换成x就可以了
希望可以帮助你！

Answer 2

令x=-y/2.
得：f(0)=f(-y/2)+y=1
f(-y/2)=1-y=2(0.5--y/2)
所以f(x)=2(0.5--x)

Answer 3

在f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)中，令x=0，得
f(y/2)=f(0)+y(y+1)=y²+y+1
再令y/2=x，得
f(x)=4x²+2x+1
注：如果严格推敲，等式　f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)不可能对任意的x，y都成立。理由如下。
在式子中令，y=-4x，则　上式变为
f(-x)=f(x)-4x(-2x+1) (1)
即（1）式对所有的x∈R都成立
在（1）式中用-x替换x，得
f(x)=f(-x) +4x(2x+1) (2)
所以（2）式对所有的x∈R都成立
（1）+（2）得
f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)+16x² (3)
即（3）式也对任意的x∈R都成立，但这显然是不可能的，
因为（3）式就是16x²=0，它只有在x=0时才成立。

Answer 4

f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)
令y=-2x
f(0)=f(x)+(-2x)(2x-2x+1)
=f(x)+(-2x)(2x+(-2x)+1)
=f(x)-2x=1
故 f(x)=2x+1

追问

谢谢，你的答案与书上的答案完全一致，我是这样做的：在f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)中，令x=0，得
f(y/2)=f(0)+y(y+1)=y²+y+1
再令y/2=x，得
f(x)=4x²+2x+1 我做的也有道理。我到底错哪了？

追答

你做的的确有道理，两个答案带进检验好像都不符，应该此题缺条件，或条件更明确些吧