Question

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离

Answer 1

用等体积法。
连结A1C、MC，
S△DMC=S正方形ABCD/2=a^2/2,,
V三棱锥A1-DMC=S△DMC*AA1/3=a^3/6,
根据勾股定理，DM=√5a/2,A1M=√5a/2,
A1D=√2a,
在△MA1D中，作MN⊥A1D，N是垂足，△A1MD是等腰△，
A1N=√2a/2,
MN=√（A1M^2-A1N^2)=√3a/2,
S△A1MD=A1D*MN/2=√6a^2/4,
设C至平面A1DM距离为d,
V三棱锥C-MA1D=S△A1MD*d/3=√6a^2d/12,
V三棱锥A1-DMC=V三棱锥C-MA1D,
√6a^2d/12=a^3/6,
d=√6a/3,
∴点C到平面A1DM的距离为√6a/3。