
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,则点C到平面A1DM的距离
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用等体积法。
连结A1C、MC,
S△DMC=S正方形ABCD/2=a^2/2,,
V三棱锥A1-DMC=S△DMC*AA1/3=a^3/6,
根据勾股定理,DM=√5a/2,A1M=√5a/2,
A1D=√2a,
在△MA1D中,作MN⊥A1D,N是垂足,△A1MD是等腰△,
A1N=√2a/2,
MN=√(A1M^2-A1N^2)=√3a/2,
S△A1MD=A1D*MN/2=√6a^2/4,
设C至平面A1DM距离为d,
V三棱锥C-MA1D=S△A1MD*d/3=√6a^2d/12,
V三棱锥A1-DMC=V三棱锥C-MA1D,
√6a^2d/12=a^3/6,
d=√6a/3,
∴点C到平面A1DM的距离为√6a/3。
连结A1C、MC,
S△DMC=S正方形ABCD/2=a^2/2,,
V三棱锥A1-DMC=S△DMC*AA1/3=a^3/6,
根据勾股定理,DM=√5a/2,A1M=√5a/2,
A1D=√2a,
在△MA1D中,作MN⊥A1D,N是垂足,△A1MD是等腰△,
A1N=√2a/2,
MN=√(A1M^2-A1N^2)=√3a/2,
S△A1MD=A1D*MN/2=√6a^2/4,
设C至平面A1DM距离为d,
V三棱锥C-MA1D=S△A1MD*d/3=√6a^2d/12,
V三棱锥A1-DMC=V三棱锥C-MA1D,
√6a^2d/12=a^3/6,
d=√6a/3,
∴点C到平面A1DM的距离为√6a/3。

2025-03-08 广告
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