Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

(1)求该椭圆的方程

(2)若P是该椭圆上的一个动点,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,求向量PF1* 向量PF2的最大值和最小值

Answer 1

1 c/a=根号3/2 b^2+c^2=2^2 a^2=b^2+c^2 解方程组即可a=2, b=1 c=根号3
2 PF1+PF2=2a, （椭圆定义） 所以PF1*PF2的最大值为P为短轴端点时 即二者相等时 4
最小值为P 为长轴端点时，（a-c)(a+c)=a^2-c^2=b^2=1

追问

求P的坐标呢？？

追答

没要求呀
PF1*PF2最大时，P(0,1)或者（0,-1)
PF1*PF2最小时，P(-2,0)或者（2,0)

Answer 2

e=c/a=√3/2 c^2/a^2=3/4 b^2=a^2/4 b^2+c^2=a^2=4,b^2=1
x^2/4+y^2=1

PF1+PF2=2a=4
PF1*PF2=PF1*(4-PF1)=-(PF1-2)^2+4
PF1=2时，最大=4
PF1=2+x PF2=2-x PF1*PF2=4-x^2
PF1*PF2=4^2-x^2 PF1(PF2)最小时,x=-√3 PF1(PF2)最大时x=√3 x^2<=3
PF1*PF2在x^2最大时最小=4-3=1