Question

通解，求助求助求助

设α1，α2，β1，β2均为3维向量，且α1，α2相性无关，β1，β2线性无关，存在非零向量γ，使得γ即可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出。

当α1=【1 0 2】，α2=[2 -1 3] β1=[-3 2 -5]，β2=[0 1 1] 时求所有的向量γ

答案是γ=k【0,1,1】^T 怎么得出的呢？？

Answer 1

证明: 因为4个3维向量构成的向量组α1,α2,β1,β2线性相关
所以存在不全为0的数 k1,k2,k3,k4 满足
k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0
令 k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=γ.
则 γ≠0 (否则由已知得 k1,k2,k3,k4全为0.)
所以存在非零向量γ可由两个向量组线性表示.

(α1,α2,β1,β2) =
1 2 -3 0
0 -1 2 1
2 3 -5 1

r3-2r1
1 2 -3 0
0 -1 2 1
0 -1 1 1

r1+2r2,r3-r2,r2*(-1)
1 0 1 2
0 1 -2 -1
0 0 -1 0

r1+r3,r2-2r3,r3*(-1)
1 0 0 2
0 1 0 -1
0 0 1 0

所以 γ = 2cα1-cα2 = 0β1+cβ2, c为任意常数.

追问

答案是γ=k【0,1,1】^T 怎么得出的呢？？

追答

就是 cβ2